时域有限与差分法-ppt .ppt

时域有限差分法 第1讲 一维标量波动方程 引言（1） 1966年,K.S. Yee（美籍香港人）首先提出了Finite-Difference Time-Domain Method,并用于柱形金属柱电磁散射分析。由于当时计算机技术还比较落后，这一方法并未引起重视。 1972年,A.Taflovey应用FDTD研究了UHF和微波对人类眼睛的穿透，以了解“微波白内障”的成因。Taflove成功地应用和发展了Yee的FDTD算法。 80年代后期，随着高速大容量计算机的普及，FDTD法得到了迅速发展。如今已应用于涉及波动现象的任何领域。至今，FDTD法的研究与应用仍方兴未艾。 引言（2） 本课程采用研讨班形式。教师讲授FDTD的基本知识，学生针对某一方向进行较深入的研究。 本讲我们考虑描述波动现象的最基本偏微分方程：一维标量波动方程的数值FDTD解，为以后二维、三维Maxwell方程的FDTD分析奠定基础 课程内容取自下列的参考书和近年来相关的一些文献 [1]A.Taflove,Computational Electrodynamics ? The Finite-Difference Time-Domain Method, Artech Hourse，1995. [2]高本庆，时域有限差分法，国防工业出版社，1995. [3]葛德彪，闫玉波，电磁场时域有限差分法，西电出版社，2002 1.1 差分近似（1） 一维标量波动方程 （1-1） 上式的解为 （1-2） 采用Taylor 展开 （1-3） 1.1 差分近似（2） 于是，有 (1-4） 同理，有 (1-5） 上式称为二阶偏导数的二阶中心差分格式。 将它们代入(1-1)，得 （1-6） 忽略高次项，便可得到求解的差分迭代公式。 1.1 差分近似（3） 1.1 差分近似（4） 应当注意，在一般情况下(1-6)对时间或空间具有二阶精度。但对 于 的特殊情况，根据解(1-2)，可以证明 于是 所以，（1-6）中的两个剩余项抵消，得到了精确的数值差分公式 （1-7） 正因为有这样的奇妙特性， 为“魔时间步”(Magic time step). 1.2 数值色散关系(1) 色散关系定义为行波的波长随频率的变化关系。为方便起见，色散关系也常表示为行波的波数关于角频率的变化关系。 考虑(1.1)的正弦行波解 代入(1-1)得 即 (1-8) 上式便是一维标量波动方程的色散关系。 由上式得相速度 （1-9） 可见，相速与频率无关，称为非色散。非色散意味着对于具有任意调制的包络或脉冲形状的波传播任意距离后波形保持不变。进一步由(1-8)可以得到群速关系 (1-10) 这种情况下，群速也是与频率无关。 1.2 数值色散关系(2) 上述过程也可用于一维标量波动方程差分近似的数值色散分析。 设在离散空间点 ,离散行波解为 ， 式中， 为存在于有限差分网格中的数值正弦波的波数。一般情况下，不同于连续物理波的波数。正是这种不同导致了数值相速和群速偏离了精确解。进而导致了数值色散误差。 将上式代入差分方程(1-6),得 (1-11) 重新组合并应用 Euler恒等式，最后得到数值色散关系为 (1-12) 1.3 数值相速（1） 类似于(1-9)，定义数值相速为