函数与极限1-3.ppt

高等数学电子教案 第三节 函数的极限 一、定义 在自变量的变化过程中，如果对应的函数值无限 接近于某个确定的数，那么这个确定的数就叫做在这 一变化过程中函数的极限。 二、自变量趋向有限值时函数的极限 问题: 的过程 表示 x0 x? 0 x0 x - d 函数 在 的 过程中 , 对应 函数值 无限 趋近于 确定值 A . y = f(x) f(x) 对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 , 使得对于适合 的一切 对应的函数值 都满足不等式 , 那么常数 就叫函数 当 时的极限, 记作 定义1 如果存在常数A， 不等式 1、定义 . ) ( ε - A x f 恒有 , 0 0 δ - x x 时 使当 注： 3。几何解释: 例2 证 例3 证 例4 证明： 这里，函数在点 x = 1 是没有定义的， 但函数 当x→1时的极限存在与否跟它并无关系。 事实上，对于任意给定的正数ε， 不等式 约去非零因子 x-1 后，就化为 |x-1| ε , 因此，只要取δ = ε， 那么，当 时，就有 证： 注：在用函数极限的定义证明时，必须找出δ与 ε之间的联系，以便对于任给的ε，总能找到对 应的δ，对于满足 0|x-x0|δ的一切x，使不等式 |f(x)-A|ε都成立 证毕 例5 证明： 任给ε0 ∵ 需满足 因此，如取 那么当x适合不等式 即 证： 就满足不等式 对应的函数值 3、单侧极限 例如, 左极限 右极限 记作 极限: 左极限和右极限 极限 左极限 右极限 三者关系 且 左右极限存在但不相等, 例6 证 三、自变量趋向无穷大时函数的极限 问题: 通过上图可知: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”. 函数值 函数 在 的 过程中 , 对应 f(x) 无限 确定值 A . 趋近于 y = f(x) , 0 ε , 0 X . ) ( ε － A x f 恒有 , X x 时 使当 1、定义 对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数 , 使得对于适合 的一切 对应的函数值 满足不等式 , 那么常数 就叫函数 当 时的极限, 记作 定义2 如果存在常数A， 不等式 都 任意 存在 2、另两种情形 用函数极限的定义容易证明如下定理： 定理： 3、几何解释 例1 证 1、有界性定理 如果函数 f(x) 当x→x0时的极限存在, 则函数 f(x)在 x0的某个去心邻域内有界。 思考：比较两者的不同之处！ 注：数列与此相关的定理是收敛数列必有界。 证明 …… 四、函数极限的性质 证：不妨设极限值为A. 由极限的定义可知， 任取ε 0, 总存在 δ 0， 对于满足不等式0 ∣x-x0∣δ的一切x, 都有 ∣f (x)-A∣ε，即 A -ε f (x) A +ε, 取 M = max{∣A -ε∣, ∣A +ε∣}, 那么，对于满足不等式0 ∣x-x0∣δ的一切x, 都有 ∣f (x)∣ M，定理证毕。