第九章静电场提高题.doc

第九章 静电场 提高题 9 －1　一半径为R 的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小. 分析　这仍是一个连续带电体问题，求解的关键在于如何取电荷元.现将半球壳分割为一组平行的细圆环，如图所示，所有平行圆环在轴线上P 处的电场强度方向都相同，将所有带电圆环的电场强度积分，即可求得球心O 处的电场强度. 解　将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元，在点O 激发的电场强度为 由于平行细圆环在点O 激发的电场强度方向相同，利用几何关系，统一积分变量，有 积分得 9 －2　设匀强电场的电场强度E 与半径为R 的半球面的对称轴平行，试计算通过此半球面的电场强度通量. 分析　方法1：由电场强度通量的定义，对半球面S 求积分，即 方法2：作半径为R 的平面S′与半球面S 一起可构成闭合曲面，由于闭合面内无电荷，由高斯定理 这表明穿过闭合曲面的净通量为零，穿入平面S′的电场强度通量在数值上等于穿出半球面S 的电场强度通量.因而 解1　由于闭合曲面内无电荷分布，根据高斯定理，有 依照约定取闭合曲面的外法线方向为面元dS 的方向， 解2　取球坐标系，电场强度矢量和面元在球坐标系中可表示为① 9 －3　设在半径为R 的球体内，其电荷为球对称分布，电荷体密度为 k为一常量.试分别用高斯定理和电场叠加原理求电场强度E与r的函数关系. 分析　通常有两种处理方法：(1) 利用高斯定理求球内外的电场分布.由题意知电荷呈球对称分布，因而电场分布也是球对称，选择与带电球体同心的球面为高斯面，在球面上电场强度大小为常量，且方向垂直于球面，因而有 根据高斯定理，可解得电场强度的分布. (2) 利用带电球壳电场叠加的方法求球内外的电场分布.将带电球分割成无数个同心带电球壳，球壳带电荷为，每个带电球壳在壳内激发的电场，而在球壳外激发的电场 由电场叠加可解得带电球体内外的电场分布 解1　因电荷分布和电场分布均为球对称，球面上各点电场强度的大小为常量，由高斯定理得球体内(0≤r≤R) 球体外(r ＞R) 解2　将带电球分割成球壳，球壳带电 由上述分析，球体内(0≤r≤R) 球体外(r ＞R) 9 －4　一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为σ，在平板中部有一半径为r 的小圆孔.求圆孔中心轴线上与平板相距为x 的一点P 的电场强度. 分析　用补偿法求解利用高斯定理求解电场强度只适用于几种非常特殊的对称性电场.本题的电场分布虽然不具有这样的对称性，但可以利用具有对称性的无限大带电平面和带电圆盘的电场叠加，求出电场的分布.若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成，挖去圆孔的带电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷(电荷面密度σ′＝－σ)的小圆盘.这样中心轴线上的电场强度等效于平板和小圆盘各自独立在该处激发电场的矢量和. 解　由教材中第9 －4 节例4 可知，在无限大带电平面附近 为沿平面外法线的单位矢量；圆盘激发的电场 它们的合电场强度为 在圆孔中心处x ＝0，则 E ＝0 在距离圆孔较远时x ＞＞r，则 上述结果表明，在x ＞＞r 时，带电平板上小圆孔对电场分布的影响可以忽略不计. 9 －5　在电荷体密度为ρ 的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O′的矢量用a 表示(如图所示).试证明球形空腔中任一点的电场强度为 分析　本题带电体的电荷分布不满足球对称，其电场分布也不是球对称分布，因此无法直接利用高斯定理求电场的分布，但可用补偿法求解.挖去球形空腔的带电球体在电学上等效于一个完整的、电荷体密度为ρ 的均匀带电球和一个电荷体密度为－ρ、球心在O′的带电小球体(半径等于空腔球体的半径).大小球体在空腔内P 点产生的电场强度分别为E1 、E2 ，则P 点的电场强度 E＝E1 ＋E2 . 证　带电球体内部一点的电场强度为 所以 ， 根据几何关系，上式可改写为 9 －6　水分子的电偶极矩p 的大小为6.20 ×10－30 C· m.求在下述情况下，距离分子为r ＝5.00 ×10－9 m 处的电势.(1) ；(2) ；(3) ，θ 为r 与p 之间的夹角. 解　由点电荷电势的叠加 (1) 若　　 (2) 若　　 (3) 若　　 9 －7　一半径为R 的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷的体密度为ρ.现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出分布曲线. 分析　无限长均匀带电细棒电荷分布呈轴对称，其电场和电势的分布也呈轴对称.选取同轴柱面为高斯面，利用高斯定理 可求得电场分布E(r)，再根据电势差的定义 并取棒表面为零电势(Vb ＝0)，即可得空间任意点a 的电势. 解　取高度为l、半径为r 且与带电棒同轴的圆柱面为高斯面，由高斯定理 当r≤R 时 得