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LA-群新系列及亚循环p-群的自同构群的开题报告

1.背景介绍

在群论中，我们经常研究自同构群，即由群的所有自同构构成的群。它是群的基本性质的研究对象，也具有许多应用。最近，有学者在研究LA-群的自同构群时发现了一些有趣的现象。因此，我们计划通过研究这些现象进一步了解自同构群的性质。

另外，亚循环p-群也是群论中一个重要的研究对象。它是指群的每个正规子群都是循环群（即，每个正规子群都是由一个元素生成的群）。目前，对于亚循环p-群的研究还存在很多问题，例如它们的结构和分类。因此，我们也将研究亚循环p-群的自同构群。

2.研究内容和方法

我们将主要研究以下两个问题：

-LA-群的新系列是否存在非平凡的自同构群？

-亚循环p-群的自同构群具有哪些性质？

针对第一个问题，我们计划采用群表示论的方法，利用群表示的性质研究LA-群的自同构群。特别地，我们将研究LA-群的新系列LG(n,q)（其中，n为偶数，q为任意素数幂）的自同构群。我们将先计算LG(n,q)的所有不可约线性表示，然后使用表示论的技巧来构造LA-群的自同构群。

针对第二个问题，由于亚循环p-群的结构较为复杂，我们计划采用分类讨论的方法。首先，我们将研究当p为素数时亚循环p-群的性质，然后逐步推广到p为素数幂的情况。我们将尝试构造一个通用的方法来研究亚循环p-群的自同构群，并研究它们的一些基本性质，如阶数和类型等。

3.预期结果

我们预计将获得以下结果：

-我们将证明LA-群的新系列存在非平凡的自同构群，从而推广了已有的结果。

-我们将给出亚循环p-群的自同构群的一个通用的构造方法，并研究它们的一些基本性质，例如阶数和类型等。

-我们将给出一些例子来说明我们的方法和结论的实际运用价值。

4.计划进度

我们计划完成以下工作：

-第一学期：学习群表示论的基本知识，研究LA-群的自同构群的已有结果，并开始研究新系列LG(n,q)的自同构群。

-第二学期：深入研究LG(n,q)的自同构群，并尝试给出它们的一个完整分类。同时，开始研究亚循环p-群的自同构群并给出已有的结果。

-第三学期：继续研究亚循环p-群的自同构群，尝试给出一个通用的构造方法，并研究它们的基本性质；同时，将研究和分析实际应用案例。

-第四学期：整理研究结果，并撰写开题报告，准备论文骨架，并在导师的指导下完善论文。