北京市东城区2223学年度第二学期高三综合练习二.doc
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北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案（理科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）C （3）A （4）D
（5）D （6）B （7）D （8）C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9） （10） （11）
（12） （13） （14）①③
注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：（Ⅰ）因为
=
．
所以的最小正周期．
（Ⅱ） 因为，
所以．
所以的取值范围是． ………………………………13分
（16）（共13分）
解：（Ⅰ）设该年级共人，由题意得，所以．
则．
（Ⅱ）依题意，所有取值为．
，
，
．
的分布列为：
． ………………………………………13分
（17）（共14分）
（Ⅰ）证明：因为w
所以，
又因为，且，
所以 平面，
因为平面，
所以 ．
（Ⅱ）因为△是等边三角形，
，，
不防设，则 ，
又因为，分别为，的中点，
由此以为原点，，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系．
则有，，，，，．
所以，．
设平面的法向量为．
则
即
令，则．
所以．
又平面的一个法向量为．
所以 ．
所以二面角的余弦值为． ………………………………14分
（18）（共14分）
解:(Ⅰ) ，定义域为， k B 1 . c o m
则．
因为，由得， 由得，
所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为．
(Ⅱ)由题意，以为切点的切线的斜率满足
，
所以对恒成立．
又当时， ，
所以的最小值为．
(Ⅲ)由题意，方程化简得
+
令，则．
当时， ，
当时， ，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在处取得极大值即最大值，最大值为．
所以 当， 即时， 的图象与轴恰有两个交点，
方程有两个实根，
当时， 的图象与轴恰有一个交点，
方程有一个实根，
当时， 的图象与轴无交点，
方程无实根． ……14分
（19）（共13分）
解: (Ⅰ)因为，，
所以 ．
因为原点到直线：的距离，
解得，．
故所求椭圆的方程为．
(Ⅱ)因为点关于直线的对称点为，
所以
解得 ，．
所以．
因为点在椭圆:上，
所以．
因为， 所以．
所以的取值范围为．
(Ⅲ)由题意
消去 ，整理得
．
可知．
设，，的中点是，
则，．
所以．
所以．
即 ．
又因为，
所以．所以． ………………………………13分
（20）（共13分）
解：（Ⅰ）；
．
（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的，有．
则存在无数个正整数，使得对任意的，有．
设为其中最小的正整数．
若为奇数，设（），
则．
与已知矛盾．
若为偶数，设（），
则，
而
从而．
而，与为其中最小的正整数矛盾．
综上，不存在正整数，使得对任意的，有．
（Ⅲ）若为有理数，即为无
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