高中数学-函数的对称性.ppt

函数的对称性 * * 有些函数 其图像有着优美的对称性， 同时又有着优美的对称关系式 1 -3 -1 -2 1 6 5 4 3 2 -x x 7 8 （偶函数）　 Y=F(x)图像关于直线x=0对称 知识回顾 从”形”的角度看， 从”数”的角度看， F(-x)=F(x) X Y 1 -3 -1 -2 1 6 5 4 3 2 7 8 f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6) f(4-310) 0 x 4-x Y=f(x)图像关于直线x=2对称 f(3) f(4) 从”形”的角度看， 从”数”的角度看， x y 1 f(1+x)= f(3-x) f(2+x)= f(2-x) f(x)= f(4-x) 对于任意的x 你还能得到怎样的等式？ 从”形”的角度看， 从”数”的角度看， Y=f(x)图像关于直线x=2对称 1 -3 -1 -2 6 5 4 3 2 7 0 x 4-x Y x -2-x 1 -3 -1 -2 1 6 5 4 3 2 7 8 x=-1 f(x)= f(-2-x) x 思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 Y x -1+x -1-x 1 -3 -1 -2 1 6 5 4 3 2 7 8 x=-1 f(-1+x)= f(-1-x) 思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称 f(x)= f(-2-x) Y x 1 猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)= f(2a-x) f(a-x)= f(a+x) 在y=f(x)图像上任取一点P 点P关于直线x=a的对称点P’ 则有P’的坐标应满足y=f(x) 也在f(x)图像上 P(x0,f(x0)) P’ P’(2a-x0,f(x0)) f(x0)=f(2a-x0) 即： f(x)=f(2a-x) x0 2a-x0 y=f(x)图像关于直线x=a对称 （代数证明） 求证 已知 y=f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)=f(2a-x) 在y=f(x)图像上任取一点P 若点P关于直线x=a的对称点P’ 也在f(x)图像上 P(x0,f(x0)) P’ P’(2a-x0,f(x0)) f(x0)=f(2a-x0) f(x)=f(2a-x) x0 2a-x0 y=f(x)图像关于直线x=a对称 （代数证明） 已知 求证 y=f(x)图像关于直线x=a对称 则y=f(x)图像关于直线x=a对称 ? f(x)=f(2a-x) P’在f(x)的图像上 y=f(x)图像关于直线x=a对称 f(x)= f(2a-x) f(a-x)=f(a+x) y=f(x)图像关于直线x=0对称 f(x)= f(-x) 特例：a=0 轴对称性 思考？ 若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x), 则函数图像关于 对称 a+b 2 x= 直线 -x x x y o F(-x)+F(x)=0 y=F(x)图像关于(0,0)中心对称 中心对称性 类比探究 a 从”形”的角度看， 从”数”的角度看， F(x)+F(2a-x)=0 x y o a y=F(x)图像关于(a,0)中心对称 从”形”的角度看， 从”数”的角度看， 中心对称性 类比探究 x 2a-x F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0 x y o a 从”形”的角度看， 从”数”的角度看， 中心对称性 类比探究 a+x a-x y=F(x)图像关于(a,0)中心对称 b a F(a+x)+F(a-x)=2b F(x)+F(2a-x)=2b b 中心对称性 y=F(x)图像关于(a,b)中心对称 类比探究 x y o 思考？ (1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0, (2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c, 则函数图像关于 对称 a+b 2 ( ,0 ) 点 则函数图像关于 对称 a+b 2 ( ,C ) 点 ? 知识内容： 函数图像的对称性 对称关系式 y=F(x)图像关于x=a轴对称 F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x) y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称 F(x)+F(2a-x)=2b F(a-x)+F(a+x)=2b ? 数学思想方法: 1.数形结合 2.由特殊到一般 3.类比思想 知识迁移： 已知对任意x，有f(x+2)=f(-x), 当x [2,3]，y=x 求当x [-1,0]时，f(x)的解析式？ 谢谢! 奇函数 F(-x)=-F(x)