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育才中学2010届高三数学第一轮总复习教案合情推理与演绎推理
育才中学2010届高三数学第一轮总复习教案
合情推理与演绎推理
杨忠武
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合情推理与演绎推理
一、归纳推理
例1．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？
变式1.设平面内有n条直线(n 3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)= ；当n 4时，f(n) ．（用n表示）
变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;
画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么
在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?
猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成部分?
强化训练
1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .
2.由7＞5
,9＞8,13
9,若 a＞b＞0,m＞0，则b m与b
之间的大小关系为 .
10 8 11
10 25 21
a m a
下列推理是归纳推理的是 （填序号）.
①A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
②由a=1，a=3n-1，求出S，S，S，猜想出数列的前n项和S的表达式
1 n 1 2 3 n
③由圆x2+y2=r2的面积 r2，猜想出椭圆x2
a2
y2=1的面积S= ab
b2
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
已知整数的数对列如
下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),则第 60个数对
是 .
二、类比推理
（一）数列中的类比
例1.在等差数列a
n
中，若a
10
0，则有等式a a a
1 2 n
a a a
1 2
19n
(n 19,n N )成立，类比上述性质，相应地：在等比数列b
n
中，若b
9
1，则
有等式 成立.
强化练习
定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和
数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛a ｝等和数列，且a 2，公和为5。那么a 的值为
n 1 18
，这个数列前n项和S
n
的计算公式为 。
若数列{a
n
}(n N
)是等差数列，则有数列
a a
b 1 2
n
a a
3 n
n
,(n N
)也是等差数列
;类比上述性质，相应地：若数列
{c}(n N*)
n
是 等 比
数 列 ， 且 c 0
n
， 则 有 数 列
d _ _
n
_ __ __ _(n_ _N_*)也__ _是_ _等_ 。,比 数 列
（二）几何中的类比
S例1.如图1，若射线OM，ON上分别存在点M，M与点N，N，则 OM N
S
=OM 1·ON1
；如图2，若不在
1 2 1 2
11
S OM ON
OM N 2 2
22
同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P，P，点Q，Q和点R，R，则类似的结论是什么？
1 2 1 2 1 2
例2.已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A′,B′,C′,则OA+OB+OC=1,
这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.
AA
BB
CC
OA+OB+OC=SOBC
+SOCA
+SOAB
=SABC
=1，
AA
BB
CC
S
ABC
S
ABC
S
ABC
S
ABC
请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.
强化练习
在平面几何中，有勾股定理：“设 ABC 的两边AB、AC互相垂直，则AB2 AC2 BC2.”拓展到空
间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，则 .”
在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分