第四节 三角函数的最值与综合应用.doc

第四节　三角函数的最值与综合应用 高考试题 考点一 三角函数的最值? 1.(2013年天津卷,文6)函数f(x)=sin（2x-）在区间[0, ]上的最小值为(　　) (A)-1 (B)- (C) (D)0 解析:由x∈[0,]得2x-∈[-,], 所以sin(2x-)∈[-,1]. 即f(x)在[0, ]上最小值为-. 故选B. 答案:B 2.(2012年山东卷,文8)函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　) (A)2- (B)0 (C)-1 (D)-1- 解析:当0≤x≤9时,-≤-≤, 所以-≤2sin(-)≤2, 所以最大值与最小值之和为2-.故选A. 答案:A 3.(2011年天津卷,文7)已知函数f(x)=2sin(ωx+),x∈R,其中ω0,-π≤π.若f(x)的最小正周期为6π,且当x=时,f(x)取得最大值,则(　　) (A)f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 (B)f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 (C)f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 (D)f(x)在区间[4π,6π]上是减函数 解析:∵T=6π, ∴ω===, ∴×+=2kπ+(k∈Z), ∴=2kπ+ (k∈Z). ∵-π≤π, ∴令k=0得=. ∴f(x)=2sin(+). ∴增区间为2kπ-+2kπ+,k∈Z, ∴2kπ-2kπ+,k∈Z, ∴6kπ-x6kπ+,k∈Z, 当k=0时,-x. ∴f(x)在[-2π,0]上是增函数.故选A. 答案:A 4.(2010年江西卷,文6)函数y=sin2x+sin x-1的值域为(　　) (A)[-1,1] (B)[-,-1] (C)[-,1] (D)[-1,] 解析:令sin x=t,则t∈[-1,1], 可得y=t2+t-1=(t+)2-, 故y∈[-,1]. 故选C. 答案:C 5.(2013年新课标全国卷Ⅰ,文16)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=　　　　.? 解析:f(x)=sin x-2cos x=(sin x-cos x) =sin(x-), 其中sin =,cos =, 当x-=2kπ+(k∈Z), 即x=2kπ++时函数f(x)取到最大值, 即θ=2kπ++, 所以cos θ=-sin =-. 答案:- 6.(2012年大纲全国卷,文15)当函数y=sin x-cos x(0≤x2π)取得最大值时,x=　　　　.? 解析:y=sin x-cos x=2sin(x-), ∵x∈[0,2π), ∴x-∈[-,), ∴当x-=, 即x=时,函数值最大为2. 答案: 7.(2013年陕西卷,文16)已知向量a=(cos x,- ),b=(sin x,cos 2x),x∈R,设函数f(x)=a·b. (1)求f(x)的最小正周期. (2)求f(x)在[0,]上的最大值和最小值. 解:f(x)=(cos x,- )·(sin x,cos 2x) =cos xsin x-cos 2x =sin 2x-cos 2x =cossin 2x-sincos 2x =sin(2x-). (1)f(x)的最小正周期为T===π, 即函数f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤, ∴-≤2x-≤. 由正弦函数的性质,知当2x-=, 即x=时,f(x)取得最大值1. 当2x-=-, 即x=0时,f(x)取得最小值-, 因此,f(x)在[0,]上的最大值是1,最小值是-. 8.(2012年湖北卷,文18)设函数f(x)=sin2ωx+2sin ωx·cos ωx-cos2ωx+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈(,1). (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若y=f(x)的图象经过点(,0),求函数f(x)的值域. 解:(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωsin x+2sin ωx·cos ωx+λ =-cos 2ωx+sin 2ωx+λ =2sin(2ωx-)+λ. 由直线x=π是y=f(x)图象的一条对称轴, 可得sin(2ωπ-)=±1, 所以2ωπ-=kπ+(k∈Z), 即ω=+(k∈Z). 又ω∈(,1),k∈Z, 所以k=1,故ω=. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y=f(x)的图象过点(,0), 得f()=0, 即λ=-2sin(×-) =-2sin=-, 即λ=-. 故f(x)=2sin(x-)-. 所以函数f(x)的值域为[-2-,2-]. 9.(2012年重庆卷,文19)设函数f(x)=Asin(ωx+)(其中A0,ω0,-π≤π)在x=处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为. (1)求f(x)的解析式; (2)求函数g(x)=