2012年全国各地中考数学压轴题汇编第31章_与圆有关的解答题.doc

2012年全国各地中考数学汇编．（2012临沂）如图，点A．B．C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）求PD的长． 考点：切线的判定；圆周角定理；解直角三角形。 解答：（1）证明：连接OA． ∵∠B=60°， ∴∠AOC=2∠B=120°， 又∵OA=OC， ∴∠ACP=∠CAO=30°， ∴∠AOP=60°， ∵AP=AC， ∴∠P=∠ACP=30°， ∴∠OAP=90°， ∴OA⊥AP， ∴AP是⊙O的切线， （2）解：连接AD． ∵CD是⊙O的直径， ∴∠CAD=90°， ∴AD=AC?tan30°=3×=， ∵∠ADC=∠B=60°， ∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°， ∴∠P=∠PAD， ∴PD=AD=． 2．（2012义乌市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°． （1）求∠ABC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线； （3）当BC=4时，求劣弧AC的长． 考点：切线的判定；圆周角定理；弧长的计算。 解答：解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角， ∴∠ABC=∠D=60°； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴∠BAC=30°， ∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即BA⊥AE， ∴AE是⊙O的切线； （3）如图，连接OC， ∵OB=OC，∠ABC=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=4，∠BOC=60°， ∴∠AOC=120°， ∴劣弧AC的长为． 3．（2012?杭州）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2． （1）求∠COB的度数； （2）求⊙O的半径R； （3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比． 解答： 解：（1）∵AE切⊙O于点E， ∴AE⊥CE，又OB⊥AT， ∴∠AEC=∠CBO=90°， 又∠BCO=∠ACE， ∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°， ∴∠COB=∠A=30°； （2）∵AE=3，∠A=30°， ∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3， ∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2， ∴MB=MN=， 连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=， ∴OB==， 在△COB中，∠BOC=30°， ∵cos∠BOC=cos30°==， ∴BO=OC， ∴OC=OB=， 又OC+EC=OM=R， ∴R=+3， 整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0， 解得：R=﹣23（舍去）或R=5， 则R=5； （3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个， 如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示： 延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示， ∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°， ∴FD=5， 则C△EFD=5+10+5=15+5， 由（2）可得C△COB=3+， ∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1． 点评： 此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，平移及旋转的性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理及性质是解本题的关键． 4．（2012?烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若sin∠BAC=，求的值． 解答： （1）证明：连接OC． ∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF， ∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC． ∵∠BOC=2∠BAC， ∴∠BOC=∠BAF． ∴OC∥AF． ∴CF⊥OC． ∴CF是⊙O的切线． （2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°． ∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE， ∴△ABC∽△CBE． ∴==（sin∠BAC）2==． ∴=． 点评： 此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 5．（2012?梅州）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E． （1）求证：△ADE∽△BCE； （2）如果AD2=AE?AC，求证：C