第五章-整数规划设计.ppt

4) 变换矩阵(bij)以增加0元素 在没有被直线通过的所有元素中找出最小值，没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。新系数矩阵的最优解和原问题仍相同。转回第2步。 指派问题 例5.6 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四种文字，分别记作A、B、C、D。现有甲、乙、丙、丁四人，他们将中文说明书译成不同语种的说明书所需时间如下表所示，问如何分派任务，可使总时间最少？ 任务 人员 A B C D 甲 6 7 11 2 乙 4 5 9 8 丙 3 1 10 4 丁 5 9 8 2 匈牙利法 解：1）变换系数矩阵，增加0元素。 －5 2）试指派（找独立0元素） ◎ ◎ ◎ ? ? 找到 3 个独立零元素 但 m = 3 n = 4 匈牙利法 3）作最少的直线覆盖所有0元素 ◎ ◎ ◎ ? ? √ √ √ 独立零元素的个数m等于最少直线数l，即l＝m=3n=4； 4）没有被直线通过的元素中选择最小值为1，变换系数矩阵，将没有被直线通过的所有元素减去这个最小元素；直线交点处的元素加上这个最小值。得到新的矩阵，重复2）步进行试指派 匈牙利法 0 0 0 0 0 0 ◎ ◎ ◎ ? ? ◎ 得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为： 即完成4个任务的总时间最少为：2＋4＋1+8=15 匈牙利法 例4.7 已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优分配方案。 任务 人员 A B C D 甲 2 15 13 4 乙 10 4 14 15 丙 9 14 16 13 丁 7 8 11 9 匈牙利法 解：1）变换系数矩阵，增加0元素。 ◎ ? ◎ ? ? ◎ ◎ 2）试指派（找独立0元素） 独立0元素的个数为4 , 指派问题的最优指派方案即为甲负责D工作，乙负责B工作，丙负责A工作，丁负责C工作。这样安排能使总的工作时间最少，为4＋4＋9＋11＝28。 匈牙利法 例4.8 已知五人分别完成五项工作耗费如下表，求最优分配方案。 任务 人员 A B C D E 甲 7 5 9 8 11 乙 9 12 7 11 9 丙 8 5 4 6 8 丁 7 3 6 9 6 戊 4 6 7 5 11 匈牙利法 匈牙利法 -1 -2 解：1）变换系数矩阵，增加0元素。 匈牙利法 ◎ ? ◎ ◎ ◎ ? ? 2）试指派（找独立0元素） 独立0元素的个数l＝45，故画直线调整矩阵。 匈牙利法 ◎ ? ◎ ◎ ◎ ? ? √ √ √ 选择直线外的最小元素为1；直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变。 匈牙利法 ◎ ? ◎ ? ◎ ? ◎ ? √ √ √ √ √ √ √ l =m=4 n=5 选择直线外最小元素为1，直线外元素减1，直线交点元素加1，其他保持不变，得到新的系数矩阵。 匈牙利法 ◎ ? ? ◎ ? ? ◎ ? ◎ ? ◎ 总费用为=5+7+6+6+4=28 注：此问题有多个最优解 匈牙利法 ◎ ? ? ◎ ? ? ◎ ? ◎ ? ◎ 总费用为=7+9+4+3+5=28 匈牙利法 ◎ ? ? ◎ ? ? ◎ ? ◎ ? ◎ 总费用为=8+9+4+3+4=28 匈牙利法 课堂练习：用匈牙利法求解下列指派问题。 练习1： 练习2： 匈牙利法 48 21 答案： 非标准型的指派问题： 匈牙利法的条件是：模型求最小值、效率cij≥0。 当遇到各种非标准形式的指派问题时，处理方法是先将其转化为标准形式，然后用匈牙利法来求解。 指派问题 1. 最大化指派问题 处理方法：设m为最大化指派问题系数矩阵C中最大元素。令矩阵B＝（m-cij）nn则以B为系数矩阵的最小化指派问题和原问题有相同的最优解。 例4.9 某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多。 指派问题 解: M＝95，令 用匈牙利法求解C’，最优解为： 即甲安排做第二项工作、乙做第三项、丙做第四项、丁做第三项, 最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357 指派问题 2. 不平衡的指派问题 当人数m大于工作数n时，加上m－n项虚拟工作，例如： 当人数m小于工作数n时，加上n－m个人，例如 指派问题 3. 一个人可做几件事的指派问题 若某人可做几件事，则将该人化作相同的几个“人”来接受指派，且费用系数取值相同。 例如：丙可以同时任职A和C工作，求最优指派方案。 指派问题 4. 某事一定不能由某人做的指派问题 将该人做此事的效率系数取做足够大的数，可用M表示。 例4.10 分配甲、乙、丙、丁四个人去完成A、B、C、D、E五项任务。每个人完成各项任务的时间如表所示。由于任务数多于人数，考虑任务E必须完成，其他4项中可任选3项