2015年新课标高考数学题型全归纳等比数列的通项与求和典型例题剖析.doc

PAGE  学优100网： 等比数列的通项与求和 一、知识导学 1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示． 2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项． 3.等比数列的前n项和公式： 二、疑难知识导析 1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0. 2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列. 4.在??知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项. 5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项. 6.等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0　的常数与指数函数的积，因此等比数列｛an｝的图象是函数的图象上的一群孤立的点. 7．在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，，n中任意三个，可求其余两个。 三、经典例题导讲 [例1] 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（　）。 A.等差数列　　　 B.等比数列　　 C.既不是等差数列，也不是等比数列 D.既是等差数列，又是等比数列 错解： （常数） 为等比数列，即B。 错因：忽略了中隐含条件n＞1. 正解：当n＝1时，a1=S1＝aq; 当n1时， （常数） 但 既不是等差数列，也不是等比数列，选C。 [例2] 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于. 错解：S30= S10·q 2. q 2＝7，q＝， S40= S30·q =. 错因：是将等比数列中Sm, S2m －Sm, S3m －S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列. 正解：由题意：得， S40=. [例3] 求和：a+a2+a3+…+an. 错解： a+a2+a3+…+an＝. 错因：是（1）数列｛an｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1. 正解：当a＝0时，a+a2+a3+…+an＝0; 当a＝1时，a+a2+a3+…+an＝n; 当a1时， a+a2+a3+…+an＝. [例4]设均为非零实数，， 求证：成等比数列且公比为。 证明： 证法一：关于的二次方程有实根， ∴，∴ 则必有：，即，∴非零实数成等比数列 设公比为，则，代入 ∵，即，即。 证法二：∵ ∴ ∴，∴，且 ∵非零，∴。 [例5]在等比数列中，，求该数列前7项之积。 解： ∵，∴前七项之积 [例6]求数列前n项和 解： ① ② 两式相减： [例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水， 问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？ (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？ 解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{an}，则： a1= 0.2 （kg）, a2=×0.2（kg）, a3= ()2×0.2（kg） 由此可见：an= ()n?1×0.2（kg）, a5= ()5?1×0.2= ()4×0.2=0.0125（kg）。 (2)由(1)得{an}是等比数列 a1=0.2 , q= 答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.0125kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg??后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。 四、典型习题导练 1.求下列各等比数列的通项公式： a1=?2, a3=?8 a1=5, 且2an+1=?3an a1=5, 且 2.在等比数列，已知，，求. 3.已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4.设数列为求此数列前项的和。 5.已知数列{an}中，a1=?2且an+1=Sn，求an ,Sn 6.是否存在数列{an}，其前项和Sn组成