线性代数第一章第五节课件.ppt

一、余子式与代数余子式 二、行列式按行（列）展开法则 * * 例如 §1.5 行列式按行（列）展开 目的：把高阶行列式化为低阶行列式 在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式，记作 叫做元素 的代数余子式． 例如 定义 注1 行列式的每个元素都分别对应着一个余子式 和一个代数余子式 注2 和 与 的大小无关，而与 的位置有关。 定理1.3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与 其对应的代数余子式乘积之和，即 例 注：代数余子式中，余子式前的符号“＋”、“－”的规律 （1）主对角线元素余子式前带“＋” （2）相邻两元素的余子式前 “＋”、“－”相间 证明 只对行证明.分三步（先特殊，后一般） ⑴假设行列式第一行除 外都为0，则由定义 ⑵假设行列式第i行除 外都为0，则 为了利用第一步的结论，我们要把它化为第一步里 面的形式，我们把 的第 行依次与第 行交换，共交换 次；再把 的第 列依次与第 列交换，共交换 次，得 中的余子式 于是有 故得 ⑶ 一般情形 证毕 利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简 化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某 一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开, 变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或 二阶行列式。 注：在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不 一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶 行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或 某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开 定理在理论上是重要的。 例1 例2 计算 n 阶三对角行列式 解 由递推公式 可得 又因为 ， ，则 ， 于是 一般地，若导出的递推关系式为 则可先将其转化为 进行递推得 记做 其中 为一元二次方程 的两根.然后 再利用 依次递推求出 . 例3 计算 2n 阶行列式 解 把行列式按照第一行展开，得 又因为 所以 例4 证明范德蒙(Vandermonde)行列式 所以，共有 项。 证 用数学归纳法 n-1阶范德蒙行列式 证毕 可以利用范德蒙行列式的结论求行列式 例5 计算 n+1 阶行列式 分析 该行列式与范德蒙行列式形式不同，不能直 接用范德蒙行列式的结论，因此要把它化为 范德蒙行列式。 解 把 最后一行依次与前面各行交换到第一行， 新的最后一行再依次与前面各行交换到第二行， 这样继续做下去，则共经过交换 次行后 可得范德蒙行列式