线性方程组迭代算法的收敛性分析论文..doc

线性方程组迭代法的收敛性分析 摘要： 本文主要讨论求解线性方程组的迭代方法及对其收敛性的分析，其中是n阶可逆矩阵，b是n维列向量。通过分析找出各迭代方法的收敛条件及近似的误差估计,对于求解时迭代算法的选取及收敛加速都有实用价值。 关键词： Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法 SOR迭代法 松弛因子 迭代法收敛 1.引言: 在实际应用中,特别是对偏微分方程的数值求解时,常遇到大型稀疏矩阵线性方程组的求解问题,为解决求解过程中稀疏性的保持问题发展了迭代法。对于迭代法，关键在于（1)如何构造迭代格式？(2)如何保证迭代格式的收敛？下面将一一给出解答。 2.迭代法收敛性的定义 迭代法是一种极限方法。设给定的非奇异线性方程组，为线性方程组的精确解，将其等价变形为，由此建立迭代公式 （k=0,1,2……） 其中B为n阶矩阵，称为迭代矩阵，f是与A和b相关的n维列向量。给定初始向量，利用迭代公式得向量序列{ }，若 ，则称迭代法收敛。 设系数矩阵A=的主对角线元素≠0（i=1,2, ……）,令A=D-L-U,其中D=diag(,,……)，L=是严格下三角矩阵,U=是严格上三角矩阵。 3.几种常用迭代法 3.1 Jacobi迭代法 构造迭代公式 ，其中，，称该迭代法为Jacobi迭代法，有迭代格式为 3.2 Gauss-Seidel迭代法 构造迭代公式 ，其中，称该迭代法为Gauss-Seidel迭代法，有迭代格式 3.3 SOR迭代法（超松弛迭代） 超松弛迭代法是在Gauss-Seidel迭代法基础上建立的，可以看作是Gauss-Seidel迭代法的一种加速方法。迭代格式为，i=1，…n 迭代形式：，其中，ω为松弛因子 4.迭代法的收敛性分析 4.1 对于迭代格式(k=0,1,2……)的收敛性分析 [1] 迭代格式(k=0,1,2……)产生的迭代序列收敛的充要条 件是 证 必要性：设线性方程组的精确解为，则有， 又 所以，由于迭代序列收敛，故，则有 充分性：如果， ，由于 ，所以即迭代序列收敛，且极限为方程组的解。该定理说明，讨论迭代法的收敛性等价于讨论迭代矩阵B是否满足 [2] 对于任意的及,迭代格式收敛的充要条件是。（表示矩阵B的谱半径，即=，为B的特征值） 证 必要性： 迭代序列收敛于，则。设B的特征值为λ，对应的特征向量为v,则有，所以 充分性： 若,则,同样利用特征值与矩阵的关系可得出迭代序列收敛于 [3] (充分条件)若,则迭代格式收敛 证: 由于,所以,从而迭代格式收敛 4.2 当系数矩阵A为特殊矩阵时，Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法迭代性分析 [1]若系数矩阵A是对称正定的，则 ①Gauss-Seidel迭代法收敛 ②Jacobi迭代法收敛的充要条件是A正定且2D-A也 正定 证 ①设是的特征值，对应的特征向量为，则有，即。由于A是对称正定的，由，所以 令，， 所以 A正定，故，所以从而 Gauss-Seidel迭代法收敛 ② 记，由于A正定，则（i=1，2，…n）故有意义。由于 A对称，故 对称且与相似，有相同的特征值 必要性： 由于，故 设是 的任一特征值 ，则有 ，所以是矩阵 的特征值，所以，，所以是正定的，A与 合同，则A是正定矩阵 因为，，所以是的特征值，由于，所以，也是正定的 由于，所以2D-A是正定的 充分性： A正定正定的特征值大于零2D-A正定的特征值大于零 设 所以也是的特征值，有，是的特征值 〉0---------① 又的特征值------------② 根据①②得，从而，Jacobi迭代法收敛 [2]若系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则Jacobi迭代法语于Gauss-Seidel 迭代法均收敛 证 （1）Jacobi迭代矩阵，第i行行和为，所以Jacobi迭代法收敛 （2）Gauss-Seidel 迭代矩阵为，设，则有 ，所以。用反证法， 若， ，即严格对角占优，有，矛盾。 所以，Gauss-Seidel 迭代法收敛。 4.3 SOR迭代法的收敛性分析 [1] 若SOR迭代法收敛，则 证 迭代矩