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章末整合提升 热点一 识别中心对称图形 识别中心对称图形是中考的热点内容，既单独命题考查， 又与轴对称图形综合命题考查．这类问题的解决方法是抓住中 心对称图形的定义，看是否存在对称中心，旋转角度是否是 180°，注意结合各种图形自身的特征进行判断． 【例 1】下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形 的是( ) 答案：A 【跟踪训练】 1．现有如图 23-1 所示的四张牌，若只将其中一张牌旋转 ) B 180°后得到图 23-2，则旋转的牌是( 图 23-1 图 23-2 2．下列交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的 是( ) D 3．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的 是( ) C 热点二 利用旋转寻找规律 近年不少省市中考试卷中加强了图形运动变化类考题(动 态几何)的设置，其中有一类考题以图形旋转变换为情境背景， 突出对学生探究性能力的评价．解决此类问题的关键是仔细审 题，归纳规律，合理推测，认真验证，从而得出问题的结论． 【例 2】 有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不 动，另一个矩形绕其对称中心 O 按逆时针方向进行旋转，每次 均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②…， 则第 10 次旋转后得到的图形与图①～图④中相同的是( ) B．图② D．图④ A．图① C．图③ 答案：B 【跟踪训练】 4．如图23-3①，在△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB ＝4.将△AOB沿 x 轴依次以点 A，B，O 为旋转中心顺时针旋转， 分别得到图②，图③，…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐 标为________． 图 23-3 (36,0) 5．如图 23-4，在平面直角坐标系中，对△ABC 进行循环 往复的轴对称或中心对称变换，若原来点 A 坐标是(a，b)，则 经过第 2 011 次变换后所得的点 A 坐标是________． 图 23-4 解析：∵2 011÷3＝670…1，第一次变换是各对应点关于 x 轴对称，点 A 坐标是(a，b)， ∴经过第 2 011 次变换后所得的点 A 坐标是(a，－b)． 故答案为(a，－b)． 答案：(a1－b) 热点三 旋转和其他变换的综合应用 【例 3】 如图 23-5，将两块大小相同的含 30°角的直角三 角板(∠BAC＝∠B′A′C＝30°)按图 23-5(1)方式放置，固定三 角板 A′B′C，然后将三角板 ABC 绕直角顶点 C 顺时针方向 旋转(旋转角小于 90°)至图 23-5(2)所示的位置，AB 与 A′C 交 于点 E，AC 与 A′B′交于点 F，AB 与 A′B′相交于点 O. (1)求证：△BCE≌△B′CF； (2)当旋转角等于 30°时，AB 与 A′B′垂直吗？请说明理 由． 图 23-5 (1)证明：因为∠B＝∠B′，BC＝B′C，∠BCE＝∠B′CF， 所以△BCE≌△B′CF. (2)解：AB 与 A′B′垂直，理由如下： 当旋转角等于30°时，即∠ECF＝30°，所以∠FCB′＝60°， 又∠B＝∠B′＝60°，根据四边形的内角和可知∠BOB′的度数 为 360°－60°－60°－150°＝90°，所以 AB 与 A′B′垂直． 【跟踪训练】 6．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕 顶点 C 按顺时针方向旋转，旋转角为 (0° ＜θ ＜180°) ，得到 △A ′B′C. (1)如图 23-6，当 AB∥CB′时，设 A′B′与 CB 相交于点 D.证明： △A′CD 是等边三角形； 图 23-6 证明：∵AB∥CB′，∴∠B＝∠BC B′＝30°. ∴∠A′CD＝60°，∠A′DC＝∠B′＋∠BCB′＝60°. 又∵∠A′＝60°，∴∠A′CD＝∠A′＝∠A′DC＝60°. ∴△ A′CD 是等边三角形． (2)如图 23-7，连接 A′A，B′B，设△ACA′ 和△BCB′ 的面积分别为S△ACA′ 和S△BCB′. 求证： S△ACA′ ：S△BCB′＝1∶3； 图 23-7 AC A′C 证明：∵∠ACA′＝∠BCB′，AC＝A′C，BC＝B′C， ∴ BC BC ＝ . △ACA′∽△BCB′，相似比为1∶ . ∴S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3. (3)如图 23-8，设 AC 的中点为 E，A′B′的中点为 P，AC ＝a ，连接 EP ，当θ ＝________ 时，EP 长度最大，最大值为 ________． 图 23-8