2014届西安市昆仑中学高三数学复习讲义 第69课时 离散型随机变量的均值与方差、正态分布.doc

课题：离散型随机变量的均值与方差、正态分布 考纲要求：① 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题 ；② 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线及曲线所表示的意义. 教材复习 离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:≤≤，并且不可能事件的概率为，必然事件的概率为．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：≥，…；… 对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即≥ 数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称 …… 为ξ的数学期望，简称期望 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值 . 期望的一个性质:若，则 方差: 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…， 且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么, ＝＋＋…＋＋… 称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望． 标准差:的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作 方差的性质： ； . 方差的意义：随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； 随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 二项分布的期望与方差：若，则 ， 几何分布的期望和方差： 若，其中，…， ．则 ，. 正态分布密度函数： ，（） 其中是圆周率；是自然对数的底；是随机变量的取值；为正态分布的均值；是正态分布的标准差.正态分布一般记为。 即若，则， 正态分布是由均值和标准差唯一决定的分布 通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响 ，亦见课本中图. 通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称.从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线 . 正态曲线的性质： 曲线在轴的上方，与轴不相交曲线关于直线对称 当时，曲线位于最高点 当时，曲线上升（增函数）；当时，曲线下降（减函数）.并且 当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线，向它无限靠近 一定时，曲线的形状由确定 越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中 正态曲线下的总面积等于.即 标准正态曲线:当、时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是，（），其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题 典例分析： 考点一 求期望与方差 问题1．（浙江）随机变量的分布列如右： 其中成等差数列，若，则的值是 设是一个离散型随机变量，其分布列如下表, 则 ，则 (重庆联考) 随机变量的分布列如右： 那么等于 (黄岗调研)已知，，，则与的值分别为 和 和 和 和 (天津十校联考)某一离散型随机变量的概率分布如下表，且， 则的值为： (四川) 设离散型随机变量可能取的值为， （），又的数学期望，则 (山东文) 将某选手的个得分去掉个最高分，去掉个最低分，个剩余分数的平均分为，现场做的个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示： 则个剩余分数的方差为 ? ?文 问题2．设随机变量的分布列如右表，求和. 问题3．（陕西）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下： (Ⅰ)求的值和的数学期望；（Ⅱ）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被消费者投诉次的概率.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 考点二 期望与方差的应用 问题4．（浙江）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙公司面试的概率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记为该毕业生得到面试得公司个数.若，则随机变量的数学期望 （辽宁）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品