华南师范大学量子力学课件-力学量.pdf

量⼦⼒学•⼒学量 • 表⽰⼒学量的算符 • 动量算符 • 厄⽶算符本征函数的正交性 • 算符与⼒学量的关系 • 测不准关系 • 守恒定律 主讲⼈：杨谋 表⽰⼒学量的算符 • 算符的基本性质 • 对易和反对易 • 厄⽶算符 • 算符的本征值问题 表⽰⼒学量的算符（I） 算符的基本性质 (1) 算符是对波函数进⾏操作和变换的符号，它单独存在是没有意义的，仅 当它作⽤于波函数上相应的运算才有意义 对任意波函数，若 ˆ ˆ Oψ = Uψ 则算符Ô 和算符Û 相等，即Ô= Û 对任意波函数，若Î=，则Î 称为单位算符 将算符 Ô 中的各量换成相应的复共轭，即得到它的复共轭算符，记为Ô* 例如坐标和动量的复共轭算符 * ˆ * ˆ x = x , px = −px 表⽰⼒学量的算符（II） 算符的基本性质 (2) 若 ÔÛ=Î ，则Ô 和 Û 互为逆算符，记为 − 1 − 1 ˆ ˆ ˆ ˆ U = O , O = U 两算符之积的逆算符为（直接验证） − 1 − 1 − 1 ˆ ˆ ˆ ˆ (FG) = G F 有⼀些算符没有逆算符，如投影算符 已知⼀个⽮量，它在x轴上的投影是否被确定 已知⼀个⽮量在x轴上的投影，是否可以确定该⽮量 将算符 Ô 中的各量换成相应的复共轭，即得到它的复共轭算符，记为Ô* 例如坐标和动量的复共轭算符 * ˆ * ˆ x = x , px = −px 表⽰⼒学量的算符（III） 对易 检验 x 和px 算符的交换关系 ˆ xp ψ = x (−i! ∂ )ψ = −i!x ∂ ψ x x x ˆ p xψ = (−i! ∂ )xψ = −i!ψ − i!x ∂ ψ x x x 定义对两个算符的对易操作为两个算符的互换之差 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [F ,G] = FG − GF 从上⾯可以看出，x 和p 的对易式 （对易⼦）为 ˆ [α ,pβ ] = i!δαβ , α ,β = x ,y ,z 若两个算符的对易式为零，就说这两个算符对易，反之就是不对易 表⽰⼒学量的算符（IV） 厄⽶算符 (1) 定义对算符 F 的厄⽶共轭算符F+ ，满⾜关系 * + * ˆ ˆ ∫ u F v dτ ≡ ∫ (Fu) v dτ 厄⽶共轭有以下规律 + + ˆ ˆ (F ) = F + + + ˆ ˆ ˆ ˆ (F + G) = G