华南师范大学量子力学-一维薛定谔方程.pdf

量⼦⼒学 ⼀维薛定谔⽅程 • ⼀维⽆限深势井 • 线性谐振⼦ • 势垒隧穿 主讲⼈：杨谋 ⼀维⽆限深势阱 • 薛定谔⽅程 • 波函数的连接条件与本征能量 • 本征波函数及其特点 • 本征能量和本征波函数与阱宽的关系 ⼀维⽆限深势阱（I） 薛定谔⽅程 ⼀维定态薛定谔⽅程 !2 d 2 − 2 ψ (x ) + V(x )ψ (x ) = Eψ (x ) 2µ dx 0 , 0 ≤ x a ⎧ V(x ) = ⎨ ∞, x 0 or x ≥ a ⎩ 势阱区域，⽅程为 !2 d 2 − 2 ψ (x ) = Eψ (x ) 2µ dx 2 2 ψ ′′ + k ψ = 0 其中 k = 2µE / ! 物理含义：波⽮ ⼀维⽆限深势阱（II） 波函数的连接条件与本征能量 ⽅程的解为（有多种写法） ψ = C sin(kx + δ ) 由于两侧的势垒为⽆限⾼，从物理上考虑应有 ψ (0) = 0 , ψ (a) = 0 sin(δ ) = 0 , sin(ka + δ ) = 0 定出待定常数得到 nπ δ = 0 , kn = a 2 2 2 2 222 ! k ! n π 得到能级为 E = n = n 2µ 2µa2 ⼀维⽆限深势阱（III） 本征态及其特点 最后得到定态波函数 2 nπ x ψ = C sin k x = sin , (ψ = 0 for x 0 , x a) n n n a a 2 2 2 2 222 ! k ! n π E = n = n 2µ 2µa2 n = 1,2,!. n1 可否？ 波函数的特征 基态：0个节点 第⼀激发态：1个节点 第⼆激发态：2个节点 注意：图中纵坐标不是⾼度，⽽是是能量的⾼度 ⼀维⽆限深势阱（IV） 本征能量和本征态与阱宽的关系 核⼼结果： nπ k = a E ∼ k 2 , ψ ∼ eikx ,e− ikx • 本征态是⼀些驻波 • 阱宽是半波⻓的整数倍 • 本征波函数由前⾏波和后⾏波混合⽽成 • 粒⼦流密度是？ •阱宽变⼤，各个能级降低 • 能级⾼度与能级编号的平⽅成正⽐ 如果势阱区的势不等于0 ，阱外仍为⽆限⼤， ⼜将如何？ ⼀维线性谐振⼦ • 经典⼒学中的谐振⼦ • 研究谐振⼦的意义 • 定态薛定谔⽅程和它的解 • 能级 ⼀维线性谐振⼦（I） 经典⼒学中的谐振⼦ 经典⼒学中，⼀个⼩球受恢复