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学习导数几何意义应注意几个问题 　　学生对切线的认识经过了一个由浅入深的过程：从初中对圆的切线的认识，到高中圆锥曲线的切线，再到后来学习了导数以后，由导数的几何意义认识的切线.直到这时，学生才对切线有了本质的认识，但是，好多学生还是一知半解，在解题过程中出现这样或那样的错误.本文就学生在学习导数的几何意义过程中应注意的几个问题做了简单小结，希望能帮助学生更好地理解导数的几何意义. 　　一、曲线的切线与曲线的交点个数问题 　　好多学生认为曲线与其切线的交点有且只有一个，且整条曲线在其切线的一侧，其实这仅仅是比较特殊的曲线的一类情况，比如圆与椭圆等，其切线与圆或椭圆有且仅有一个交点，且曲线在切线的一侧.而对于一般的曲线，其在某点处的切线是否存在的依据不是交点的个数，而是导数中曲线的切线的定义：设曲线C为函数y=f(x)的图形，在C上取一点M(x??0，y??0)及邻近一点N(x??0+Δx，y??0+Δy)，过M，N作曲线割线，当点N沿着曲线无限接近M，即Δx→0时，割线MN的极限位置叫做曲线C上点M处的切线，相应割线MN的斜率的极限就是点M处切线的斜率，即??lim??Δx→0ΔyΔx=??lim??Δx→0f(x??0+Δx)-f(x??0)Δx=常数或∞，则曲线y=f(x)在点??M(x??0??，y??0)处存在切线. 　　例1 求函数y=cosx在点(π，-1)处的切线方程. 　　解 根据导数的几何意义，所求切线的斜率为 　　k=y′|????x=π??=(cosx)′|????x=π??=0. 　　从而所求切线的方程为y-(-1)=0(x-π），即y=-1. 　　而直线y=-1与曲线y=cosx有无数个交点. 　　例2 求曲线y=3x??4-2x??3-9x??2+4在x=1处的切线方程. 　　解 y′=12x??3-6x??2-18x=6x(2x??2-x-3)， 　　y′|????x=1??=-12. 　　当x=1时，y=3-2-9+4=-4， 　　故切点坐标为(1，-4). 　　由点斜式得所求曲线的切线方程为y+4=12(x-1)， 　　即y=-12x+8. 　　而直线y=-12x+8与曲线y=3x??4-2x??3-9x??2+4有三个交点且曲线分布在其切线的两侧. 　　二、函数y=f(x)在x=x??0处的可导性与它在x??0处的切线的存在性问题 　　若函数y=f(x)在点x??0处可导，则??lim??Δx→0ΔyΔx=?┆?lim??Δx→0f(x??0+Δx)-f(x??0)Δx??存在，且??lim??Δx→0f(x??0+Δx)-f(x??0)Δx=??f′(x??0)??，所以切线的斜率存在，切线自然存在；若??lim??Δx→0ΔyΔx不存在，即切线的斜率不存在，此时可分为两种情况，一是切线存在（??lim??Δx→0ΔyΔx=∞），为垂直于轴的直线，二是切线不存在（??lim??Δx→0????-ΔyΔx≠??lim??Δx→0????+ΔyΔx）. 　　例3 求曲线y=e??x1+x当x=0时的切线方程. 　　解 y′|????x=0??=xe??x(1+x)??2????x=0??=0. 　　当x=0时，y=e??01+0=1，故切点坐标为（0，1）. 　　故切线方程为y-1=0(x-0)，即y=1. 　　∴切线的斜率存在，切线自然存在. 　　例4 求曲线y=x??13在点(0，0)处的切线方程. 　　解 ??lim??Δx→0ΔyΔx=??lim??Δx→0(x??0+Δx)??13-x??13??0Δx=??lim??Δx→01??(Δx)????13=∞. 　　根据切线的定义，此时斜率不存在，故x=0是曲线y=x??13在点(0，0)处的切线方程. 　　三、过点M(x??0，y??0)的曲线的切线方程和在点M(x??0，y??0)处的曲线的切线方程问题 　　这是一个极易混淆的问题，过某点的切线中，该点不一定是切点，在某点处的切线中，该点是切点，所以求曲线的切线方程，一要分清点是否在曲线上，二要分清是求曲线在x=x??0处的切线还是曲线过点M(x??0，y??0)的切线. 　　例5 已知曲线y=13x??3+43，求过点M(2，4)的切线方程. 　　解 虽然M(2，4)在曲线y=13x??3+43上，但点M(2，4)不一定是切点，题目只需切线过点M(2，4)即可. 　　设曲线y=13x??3+43与过点M(2，4)的切线相切于点(x??0，y??0)，则k=y′|????x=x????0??=x??2??0， 　　∴切线方程为y-y??0=x??2??0(x-x??0)， 　　即y=x??2??0x-23x??3??0