高考数学(理科)二轮专题复习：专题七第2讲概率与统计.doc

第2讲　概率、随机变量及其概率分布 考情解读　(1)该部分常考内容有几何概型、古典概型、条件概率，而几何概型常与平面几何交汇命题，古典概型常与排列、组合交汇命题；常考内容还有离散型随机变量的概率分布、均值(期望)、方差，常与相互独立事件的概率、n次独立重复试验交汇考查．(2)从考查形式上来看，两种题型都有可能出现，填空题突出考查基础知识、基本技能，有时会在知识交汇点处命题；解答题则着重考查知识的综合运用，考查统计、古典概型、二项分布以及离散型随机变量的概率分布等，都属于中、低档题． 1．随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；必然事件的概率为1；不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率 P(A)＝＝. (3)几何概型的概率 P(A)＝. 2．条件概率 在B发生的条件下A发生的概率： P(A|B)＝. 3．相互独立事件同时发生的概率 P(AB)＝P(A)P(B)． 4．独立重复试验 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为 Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 5．超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝r)＝，r＝0,1,2，…，l，其中l＝min(n，M)，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n. 6．离散型随机变量的概率分布 (1)设离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi的概率为P(X＝xi)＝pi，则称下表： X x1 x2 x3 … xi … xn P p1 p2 p3 … pi … pn 为离散型随机变量X的概率分布． (2)离散型随机变量X的概率分布具有两个性质：①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1(i＝1,2,3，…，n)． (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为X的均值或数学期望(简称期望)． V(X)＝(x1－E(X))2·p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xi－E(X))2·pi＋…＋(xn－E(X))2·pn叫做随机变量ξ的方差． (4)性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b，V(aX＋b)＝a2V(X)； ②X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝np(1－p)； ③X服从两点分布，则E(X)＝p，V(X)＝p(1－p). 热点一　古典概型与几何概型 例1　(1)在1,2,3,4共4个数字中，任取两个数字(允许重复)，其中一个数字是另一个数字的2倍的概率是________． (2)(2013·四川改编)节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________． 思维启迪　(1)符合古典概型特点，求4个数字任取两个数字的方法种数和其中一个数字是另一个数字的2倍的方法数；(2)由几何概型的特点，利用数形结合求解． 答案　(1)　(2) 解析　(1)任取两个数字(可重复)共有4×4＝16(种)排列方法，一个数字是另一个数字的2倍的所有可能情况有12、21、24、42共4种，所以所求概率为P＝＝. (2)如图所示，设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为x、y，x、y相互独立，由题意可知，所以两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概率为P(|x－y|≤2)＝ ＝＝＝. 思维升华　(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识． (2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件个数的求法与基本事件总数的求法的一致性． (3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解． 　(1)(2014·广东)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． (2)在区间[－3,3]上随机取一个数x，使得函数f(x)＝＋－1有意义的概率为________． 答案　(1)　(2) 解析　(1)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，基本事件总数共有C＝120(个)，记事件“七个数的中位数为6”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为CC＝20，故所求概率P(A)＝＝. (2)由得f(x)的定义域为[－3,1]，由几何概型的概率公式，得所求概率为P＝＝. 热点二　相互独立事件和独立重复试验 例2　甲、乙、