测度链上时滞微分方程多个正解的存在性.pdf

第10卷第3期 辽宁师专学报 V0I．10No．3 2008年9月 JournalofLiaoningTeachersCollege S印 ．2008 基【础理论研究】 测度链上时滞微分方程多个正解的存在性 李云红 (河北大学数学与计算机学院，河北 保定 070012) 摘 要：研究一类测度链上一阶时滞微分方程 z (t)=一n(t)z(t)+从(t)f(x(t—r(t)))，其中t∈[t。， t：]，而[t。，t]∈丁．通过利用锥上 的不动点定理得到一个新 的不动点定理，在适当的条件下，得到该 问题多个正 解 的存在性 ． 关键词 ：测度链 ；不动点定理 ；微分方程 ；周期正解 中图分类号：0175 文献标识码 ：A 。‘ 文章编号：1008一5688(20O8)03—0001—02 1 预备知识 高英等 讨论了一类种群模型 z+1=n + ^,or(z… ()) 咒∈Z 的周期正解的存在性 ，现将此类时滞差分方程推广和改进到测度链上的时滞微分方程上，讨论如下方程 z (t)=一a(￡) (t)+A五(t)．厂((t—r(t))) (1) 的周期正解 ．这里 (t)，r(t)，忌(-t)是正 一周期函数，fEC([0，cU]×[0，+。0)一 [0，+oo))． 为证明以上结论 ，需利用下面的一些基本知识． 定义 1I2 设 T是实数R上的一个非空闭子集 ，定义 (t)=inf{s∈丁：st}和 D|(t)=sup{s∈T： t}．如果 (t)t，则称 t是右离散的，如果 (t)=t，则称 t是右致密的；如果 JD(t)t，则称 t是左离散的， 如果 p(t)=t，则称 t是左致密的． 。 定义 2[3 对任意函数 ． 厂：丁一R定义其导数厂△(t)为：设 tET，对每个 e0，存在t的邻域u：对一切 S∈U，存在 aER使lf((t))一f(s)一a((t)一S)l≤eI(t)一 I，则称函数 厂在t可微，并称 a为函数厂 在t的导数，记为 厂△(t)． 引理1 设K是Bamch空间E中的锥，n。， 是E中的开子集，且0En。，。cn。，若T：Kn(啊2＼n。) 一K是全连续算子且使得条件 (1)llTuII≤ IlUlI当 “EKna0，时，lITuI『≥ lI“ll当 “EKNan 时， 或者(2)l1T“II≥Il“lI当M∈KNa0 且l1TuIl≤l】“II当 “∈Knan 时成立，则T在Kn(_2＼0，) 上有不动点． 2 Green函数 方程 (1)的解为 z(t)= l G(t，s)忌(s)f((s—r()))△ (2) 其 中 。 expIa(“)△“ G(t，)= —— ———一 t≤ 5≤ t+60 exp(I盘(“)Au)一1 首先考虑 G(t，S)的一些性质 ． G(t，s)0；N ≤ G(￡，s)≤ Q，it．≤ ≤ t+∞ (3) 令 e= 1_ ．_l ： ．-．- 、 t 一 ， ， 收稿 日期 ：2