弹性力学例题第三章xs.doc

例题1（习题3—3）设图3—1所示的矩形长梁，，试考察应力函数能解决什么问题？ 解：按逆解法， 将代入相容方程，可见是满足的。有可能成为该问题的解。 将代入式（2—24），得出应力分量 由边界形状和应力分量反推边界上的面力： 在主要边界（大边界），。因此，在的边界面上，无任何面力作用，即。 在和的次要边界（小边界）上， 在和的次要边界（小边界）上的面力如图3-1b所示，而其主矢量和主矩如图3-1c所示。由此，我们得出结论：应力函数可以解决悬臂梁在处受集中力作用的问题。 例题2（习题3-7）设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计,l ? h,图3-5，试应用应力函数求解应力分量。 本题是较典型的例题，已经给出了应力函数，可按下列步骤求解。 解：1. 将 代入相容方程，显然是满足的。 2. 将代入式（2-24），求出应力分量（含待定常数） ， ， 。 3. 考察边界条件，求出常数A、B、C、D 主要边界上，应满足应力边界条件， ， 满足; , 得 （a） 在次要边界上， ， 求得 ； ，求得 ； ，得 （b） 由式（a）,（b）解出 。 最后一个次要边界条件（x=l上），在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，故不必再校核。 代入应力公式，得 ， ， 。 例题3（习题3-11）挡水墙的密度为，厚度为b,图3-6，水的密度为，试求应力分量。 解：用半逆解法求解。 1. 假设应力分量的函数形式。 因为在边界上， ；在边界上，，所以可假设在区域内为： 。 2. 推求应力函数的形式。 ， 则 ， 。 3 . 由相容方程求应力函数的多项式形式。 将代入 ，得 要使上式在任意的x处都成立，必须 ，得 ； ， 得 ； ，得 。 代入，即得应力函数的解答： 其中已略去了与应力无关的一次式。 4. 由应力函数求应力分量。 将 代入式（2-24），注意体力 , 求得应力分量为 , 5. 考察边界条件，求出待定常数 在主要边界y =b/2上，有 ，得 （a） , 得 (b) ，得 由上式得到 （c） （d） （e） （f） 求解各系数，由（a）+(b) 得 ， （a）-(b) 得 ， （c）-(b) 得 B=0 ，所以 ， （c）+(d) 得 由此得 , 。 又有 （e）-(f) 得 H=0， （e）+(f) 得 ， 代入A，得 。 （g） 在次要边界（小边界）x=0上，列出三个积分的边界条件： ，得 , (h) , 得 F=0 , ，得 E=0 。 由式（g）,(h)解出 ，。 6. 求应力分量解答 ， ， 。 例题5 图3-7所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩M=Fb/2的作用，试用应力函数 求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。 解：应用应力函数求解： (1)校核相容方程 ，满足。 (2)求应力分量，在无体力时，得 ， 。 (3)考察主要边界条件， ， ， 均以满足。 考察次要边界条件，在y=0上， ， 满足； ， 得 ； ， 得 。 代入，得应力的解答， ， 。 上述和应力已满足了和全部边界条件，因而是上述问题的解。 （4）求应变分量， ，，。 （5）求位移分量， 由，对x积分，得 ； 由=，对y积分，得 。 将，v代人几何方程第三式 +=， 两边分开变量，并令都等于常数，即 。 从上式分别积分，求出 ，