北京大学《线性代数》六套试卷与答案.doc

线性代数参考题一 填空题(每小题3分,满分30分) 写出4阶行列式中含因子的项为_________。 行列式的充分必要条件为___________。 设A为方阵,满足,则_________。 同阶方阵,,若,必有,则应为_______矩阵。 设A为n阶方阵,有非零解,则A必有一个特征值为_________。 设相似于对角阵,则_________。 设向量组是向量组的一个最大无关组,则与间关系为___________。 由所生成的线性空间为_________。 二次型的正定性为________。 若,且,则_________。 (8分)计算2n阶行列式 (8分)解矩阵方程 求 四. (10分)设向量组A: 求向量组A的秩及一个最大无关组. 五. 12分)讨论方程组的解的情况 六. (16分)求正交变换,将二次型 化为标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设且线性无关, 证明:线性无关. 八. (8分)为n阶方阵,且与均不可逆. 则可否对角化? 线性代数参考题二 填空题(每小题3分,满分30分) 设都是5阶矩阵,且,则 已知,则 (其中I是n阶单位阵) ,已知矩阵A的秩r(A)=2,则 4．,又是的代数余子式, 则 5．若一向量组只有唯一的极大无关组,则该向量组 6．设是正定二次型, 则的取值区间为 7．设是阶正交矩阵,,则 8．设 相似于对角阵,则 9．设非齐次线性方程组的两个解为的秩为,则 的一般解 . 10．已知向量组的 秩为2,则 二．(8分)计算n阶行列式 三．(8分)求矩阵满足 四．(10分)设 求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数各取何值时, 方程组 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换,将二次型 化为 标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设向量线性无关,且 证明向量组线性无关. 八. (8分)为n阶方阵,且与均不可逆。 试讨论是否相似于对角阵,并说明理由. 线性代数参考题三 填空题(每小题3分,满分30分) 设都是阶方阵,且则 . 设是矩阵,是的转置矩阵,且的行向量组线性无关. 则秩 是 次多项式. 4.若 5.阶数量矩阵的相似矩阵是 6.若是实对称矩阵,则属于的不同特征值的特征向量一定 7.向量组线性 关. 8.设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于 9.设是矩阵,,则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 10.设是阶正定矩阵,则方程组的解的集合是 二.计算题(每题8分,共40分) 计算阶行列式 3.用初等变换法求下列矩阵的逆 4.设中的两组基为:其中 求基到基的过渡矩阵 求 三.(10分)求下列向量组的秩和一个极大线性无关组.并说明该向量组是线性相关还是线性无关. 四.(6分)判断下面二次型是否正定二次型 五.(14分) ，求可逆矩阵,使得为对角矩阵,并且给出 线性代数参考题四 填空题(每小题3分,满分30分) 设 都是4维列向量,且4阶行列式 则4阶行列式______________ 已知线性相关,不能由线性表示则线性 __________ 设是阶矩阵 ,,是阶矩阵,,,且,则的取值范围是_______________ 4.设是43矩阵,且的秩且则_________ 5.设0是矩阵的特征值,则_____________ 6.设是正定二次型,则的取值区间为 7.矩阵对应的二次型是_______________ 8. 设 相似于对角阵,则 9.设为3阶方阵,为伴随矩阵,,则=___________ 10.设是不可逆矩阵,则____________ (8分)计算行列式 三.(8分) 三阶方阵满足关系式:,且,求 四.(10分)设 求向量组的秩及其一个极大无关组. 五. (12分)问常数取何值时, 方程组 无解,有唯一解,或有无穷多解,并在有无穷多解时写出其一般解. 六. (16分)求正交变换,将二次型 化为 标准形,并写出其标准形. 七. (8分)设 都是阶矩阵,且可逆,证明与有相同的特征值 八. (8分) 设向量组线性无关,向量可由向量组线性表示,而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线