常微分方程三课件.ppt

（三） 二阶常系数齐次线性微分方程 【二阶线性微分方程解的结构】 定义 形如 的微分 方程称为二阶线性微分方程 方程称为二阶线性 当 时， 齐次微分方程 方程称为二阶线性 当 时， 非齐次微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 注: 1、线性齐次微分方程的解符合叠加 原理, 但是叠加起来的解 不一定是微分方程的通解. 2、已知两函数 若 是常数 则称 与 线性无关. 若 是常数 则称 与 线性相关. 二阶常系数齐次线性微分方程 如 与 与 是线性相关 是线性无关 二阶常系数齐次线性微分方程 【二阶常系数齐次线性微分方程的解法】 定义1 在线性微分方程中,若未知函 数及其各阶导数的系数都是常数, 则称为常系数线性微分方程. 定义2 形如 (p、q为常数) 的方程称为二阶线性常系数齐次 微分方程 微分方程 定义3 方程 称为微分方程 的特征方程. 其根称为微分方程的特征根 步骤 第一步: 写出微分方程的特征方程: 第二步: 求出特征根 二阶常系数齐次线性微分方程 第三步: 根据下表写出通解 的两个根 方程 的通解 两个不相等的实根 一对共轭复根 两个相等的实根 如 注 对于 的 方程的解法 如 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 例1 求下列微分方程的通解 解: （1）所给微分方程的特征方程为 因此所求通解为 故特征根为 即 （2）所给微分方程的特征方程为 即 因此所求通解为 故特征根为 （3）所给微分方程的特征方程为 则 二阶常系数齐次线性微分方程 故特征根为 因此所求通解为 二阶常系数齐次线性微分方程 求方程 满足初始条件 例2 的特解 解: 所给微分方程的特征方程为 特征根为 因此所求通解为 二阶常系数齐次线性微分方程 故 所以得方程的特解为 二阶常系数齐次线性微分方程 练习 求下列微分方程的通解或特解 二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 解: （1）所给微分方程的特征方程为 因此所求通解为 故特征根为 即 （2）所给微分方程的特征方程为 即 二阶常系数齐次线性微分方程 因此所求通解为 故特征根为 （3）所给微分方程的特征方程为 则 故特征根为 因此所求通解为 微分方程 (4)、所给微分方程的特征方程为 则 因此所求通解为 微分方程 故 所以得方程的特解为 二阶常系数非齐次线性微分方程 【二阶线性常系数非齐次微分方程 解的结构】 定义 形如 (p、q为常数) 的方程称为二阶线性常系数非齐 次微分方程 定理 设 是二阶非齐次线性方程 的一个特解, 是 对应的齐次方程的通解, 则 二阶常系数非齐次线性微分方程 是二阶非齐次线性方程的 通解. 【二阶线性常系数非齐次微分方程 的求解方法】 1、形如 形式 其中 是常数, 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 有形如 的特解. 说明： 1、 是与 同次的多项式( 中 有 个待定系数) 如 则 二阶常系数非齐次线性微分方程 2、幂函数 中的幂指数 是随 是否为 特征根而定: ① 当 不是特征根时, ②当 是特征方程的单根时, ③当 是特征方程的重根时, 二阶常系数非齐次线性微分方程 2、形如 形式 方程 有形如 的特解. 由于多项式,指数函数与正弦余 弦函数的乘积求导后仍是这些函数 的乘积,因此可设方程特解为 二阶常系数非齐次线性微分方程 说明： 1、 是 次多项式, 2、 按 不是特征方程的根或是特征 方程的单根依次取 二阶常系数非齐次线性微分方程 例3 求方程 的一个特解 解: 原方程对应的齐次方程为: 特征方程为: 特征根为: 由于 不是特征根, 所以应设特 解为: 二阶常系数非齐次线性微分方程 代入原方程得: 整理得: 对比同次项系数得: 解得: 故求得方程的一个特解为 二阶常系数齐次线性微分方程