三次方程的求解和复数的产生.doc

三次方程的求解与复数的产生 复数出现及其强大的力量和无与伦比的美丽无疑是数学史上最具神奇色彩的事件之一。 绝大多数教科书都是按一种方便的历史虚构来引入复数。如为了使这样的二次方程有解才引入的复数。但无论是历史上还是今天，并不存在这种需要，例如可以将看成抛物线与直线的交点，而这显然并不必要一定是相交的。 而迫使人们考虑复数的是三次方程的求解，这倒确实和一元二次方程求解公式紧密相联的。 我们知道对于当时有求根公式，于是激发起人们对三次方程求根公式的寻找热情。1545年意大利数学家卡丹诺在其《大术》一书中，基于三次方程给出了如下的求根公式： 。 需要指出的是一般的三次方程都可以化成这种形式。下面我们追随的是韦达的做法： 令（你知道是什么吗） 则有 令即所要形式。 接下来韦达有做法（比卡丹诺晚40年）是把再做一次变换， 令有 展开得 即，即 所以 所以， 所以当时 当当时可以得到同样的结果。 卡丹诺的作法如下：中令代入得： 也就是 如果，则为三次方程的根(消去或)将代入得：。以下同上法。 这个公式出现大约30年后，意大利数学家庞贝利看出它有一些奇怪的悖论式的地方： 当时，会出现今天我们所说的复数。他考虑了。按照卡丹诺的公式有。另一方面通过观察该方程有解，庞贝利忽发“奇想”，如果，说不定会给出。当然为了使此法可行，他必须假设两个复数与的加法需要服从一个似乎合情合理的法则：，其次，如果真有一个使，他就必须去计算，为此他可以象通常代数中把括号乘开，于是利用 所以，这个法则证明了他的“奇想”胜利，他能够证明，换成现在的语言就是。 尽管复数本身仍然神秘，然而庞贝利的工作证实了复数有完全实际的应用。关于人们对复数的漫长接受过程这里不再祥述，但是从笛卡尔对其命名为虚数并给出（imaginary意为“虚幻的”；“想象中的”）的符号可想而知，人们是多么不接受它是数。 复数所有的美妙与神奇都来自于庞贝利“非常合理”的运算规定，加法的几何意义我们已知道，这里再说一下乘法法则：即伸缩与旋转，这里不用三角形式 先考虑，这意味着表明就是把逆时针方向旋转一个直角，可以从，可以验证一下。 一般情况下，是什么？取 ，表明把旋转一个角度，再放大为原来的5倍。 关于三次方程公式解的历史注解 尽管三次方程的求根公式是通过卡丹诺的《大术》被人所知的，但是人们知道至少在1500年左右，波洛尼亚的数学教授费罗就解出了类型的三次方程（卡丹诺出生于1501年）但他没有发表他的解法，因为在16，17世纪时，人们常把所得的发现保密，而向对手提出挑战。要他们解出同样的问题。但是在1510年左右，他把他的方法秘传给了弟子菲奥尔。 直到布雷西亚的塔尔塔利亚出场之前，局面没什么变化。他的真正名字叫丰坦那，因为这人在孩提时被一个法国兵用马刀砍伤脸部而引起口吃，因此大家称他为塔尔塔利亚，意为“口吃者”。1535年，菲奥尔向塔尔塔利亚挑战，要他解30个三次方程。塔尔塔利亚说他早已解出了类型的方程。这次解出了30个方程，其中包括类型的。 在卡丹诺的恳切要求下（二者原为朋友），并发誓对此保守秘密的情况下，塔尔塔利亚才把他的方法写成一首晦涩的诗告诉了卡丹诺。卡丹诺不顾他的誓言，把他对这个方法的叙述发表在他的《大术》（也作《重要的艺术》）里，塔??塔利亚抗议卡丹诺的背信弃义，但卡丹诺并未与之争论。