第十七讲与 习题3-4 .ppt

第十七讲　随机变量的数字特征及正态分布习题课 一、重点与难点 二、主要内容 三、课后习题及典型例题 一、重点与难点（第四章习题） 二、主要内容 3.正态分布的线性组合 4.中心极限定理 → 独立同分布中心极限定理 中心极限定理 → 二项分布的正态近似 标准正态分布的图形 (4) 正态分布的期望和方差 (5) 重要公式 2.二维正态分布 若二维随机变量 ( X,Y ) 具有概率密度 若(X,Y)服从二维正态分布，则 X与Y独立 X与Y不相关 返回 设X1,X2, …是独立同分布的随机变量序列， 且E(Xi)= ，D(Xi)= ，i=1,2,…，则有 进一步有 返回 设随机变量 服从参数n, p(0p1)的二项分布，即Yn～B(n,p). 则有 即 应用：若Yn～B(n, p), 求P(z1Ynz2)=? 1. 由二项分布直接计算 计算量大 2. 由泊松分布近似计算 其中 λ ＝np. 3. 由正态分布近似计算 n很大，p很小 n30, np10 解： 设Y表示三次测量超过误差30m的次数，则 4.4 测量到某一目标的距离时发生的随机误差 X(m)具有密度函数 求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率 Y~B(3, p) 由题意：X~N(20, 402) p=P(|X|＜30)= P(-30X＜30) P(Y≥1)＝1-P(Y=0) 0.4931) 解： 4.15 设随机变量X与Y独立，且X～N(0,1),Y ～N(1,22),求随机变量函数Z=2X-Y+3的概率密度. 因为X与Y独立，X~N(0, 1), Y~N(1, 22) 所以Z=2X－Y+3～N( , ) 其中μ=E(Z)=E(2X－Y+3) =2E(X)－E(Y)+3 =0－1+3=2 其中σ2=D(Z)=D(2X－Y+3) =4D(X)+D(Y)+0 =4+4=8 2 8 解： 4.19 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2),求这本书的印刷错误总数不多于70的概率 由题意，设每页出错的个数为Xi.i=1…300 所以本书的印刷错误总数 解： 4.20 已知100台机床彼此独立的工作着，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求 (1)任一时刻有70至86台机床在工作的概率； (2)任一时刻有80台以上机床在工作的概率。 X为任意时刻100台机床中工作的机床数 解： 4.20 已知100台机床彼此独立的工作着，每台机床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求 (1)任一时刻有70至86台机床在工作的概率； (2)任一时刻有80台以上机床在工作的概率。 X为任意时刻100台机床中工作的机床数 首页 返回 退出 北京信息科技大学 统计系 首页 返回 退出 北京信息科技大学 统计系 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题 1.重点 数学期望的性质和计算 2.难点 数字特征的计算 方差的性质和计算 相关系数的性质和计算 数学期望 方 差 离散型 连续型 性 质 协方差与相关系数 二维随机变量的数学期望 定 义 计 算 性 质 随机变量函数的数学期望 定 义 协方差的性质 相关系数定理 (2) 随机变量函数的数学期望 (1) 随机变量的数学期望 １. 数学期望的计算和性质 小结 (3) 二维随机变量函数的数学期望 （4）. 数学期望的性质 2.方差的定义和性质 (1) 方差是一个随机变量 X 取值分散程度的量. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值分散程度大, E(X) 的代表性差; 而如果 D(X) 值小, 则表示 X 的取值比较集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好. (2) 方差的计算公式 分 布 参数 数学期望 方差 两点分布 二项分布 泊松分布 均匀分布 指数分布 (3) 重要概率分布的期望和方差 正态分布 (4) 方差的性质 （设D(X), D(Y) 存在） 1) 设 C 是常数, 则有 2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有 3) 设 X, Y 是两个随机变量，则有 4) D(X)=0 P(X= C)=1， C为常数 3.协方差的定义和性质 4.相关系数的定义和性质 (3) 不相关与相互独立的关系 1) 相互独立 不相关 2) 不相关的充要条件 5.切比雪夫不等式及大数定理 设随机变量X有期望E(X)和方差D(X), 则对于 任给ε0, 或 E(X) －ε ε X 定理1（切比雪夫大数定理） 设 X1,X2, …是相互独立的随机变量序