第3章应变.ppt

应当指出，应变分量只确定物体中个点间的相对位置，而刚体位移并不包含在应变分量之中。在无应变状态下，可以产生任一种刚体移动。另一方面，如能正确地求出物体个点的位移函数 ，根据应变位移方程求出各应变分量，则应变协调方程即可自然满足。因为应变协调方程本身是从应变位移方程推导出来的。从物理意义来看，如果位移函数是连续的，变形自然也就可以协调。因而，在以后用位移法解题时，应变协调方程可以自然满足，而用应力法解题时，则需同时考虑应变协调方程。 作业 1.已知应变张量 试求： (a)主应变， (b)主应变方向 (c) 八面体剪应变 (d)应变不变量 2.试说明下列应变状态是否可能 (a) (b) * 弹塑性理论 弹性力学应变理论回顾 变形与应变的概念 主应变与应变偏量及其不变量 应变率的概念 应变协调方程 第3章 应 变 弹性力学应变理论回顾 在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图所示。弹性体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 图3－1 一、P点的正应变 在这里由于小变形，由y方向位移v所引起的PA的伸缩是高一阶的微量，略去不计。 同理可求得： 二、P点的切应变 线段PA的转角： 同理可得线段PB的转角： 所以 因此得到平面问题的几何方程： 由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形变分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 这个关系式称为形变协调方程或相容方程。也就是说,连续体的形变分量不是互相独立的,要满足相容方程,才能保证对应的位移分量存在。如果任取的形变分量，如果不满足相容方程，那么三个几何方程中的任意两个求出的位移分量，将不能满足第三个几何方程。 变形与应变的概念 在外力作用下，物体各点的位置要发生变化，即发生位移。 如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转动，称这种位移为刚体位移。 如果物体各点发生位移变形后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体就同时也产生了形状的变化，称为该物体产生变形。 设有一弹塑性体，在外力作用下发生了变形。图中实线轮廓为变形前的状态，虚线为变形后的状态。物体中的点A和B，变形后的位置为A′和B′ 各点的位移可以用其方向的位移分量表示。因而只要确定了物体各点的位移，物体的变形状态就确定了。因物体各点的位移一般是不同的，故位移分量应为坐标的函数 设在Oxy平面内为变形前物体中相邻的两点 和 ，两点间线段为 用矢量 表示 为沿坐标轴的分量 假定位移u,v为x,y的单值连续函数，按泰勒级数展开 于是有 简写为 在二维情况下i,j=x,y,此时 在三维情况下，i,j=x,y,z,此时 称为相对位移张量。一般的说，它是不对称的。 S移至S′有刚体位移发生。但这种刚体移动并不引起物体的变形，在应变分析中不需考虑，故应从以上的公式中消去表示刚体位移的一部分位移。为此，我们设想S经刚体位移移至S′的位置。此时，因长度没有变化，故有 展开上式，并略去高阶微量后 注意到： 由 的任意性 同样的，当在Oyz平面和Oxz平面讨论时，可得出另外三个条件： 从而当在Oxyz空间讨论时，则同时得到以下六个条件 这就是说，对应于刚体移动的相对位移张量，必为反对称张量。 任何一个二阶张量都可以惟一地分解成一个对称张量和一个反对称张量。因而 分解成的反对部分即表示刚体位移部分，对称部分为纯变形部分。 即应变张量， 即转动变量。 对于三维情况，应变张量为 转动张量为 这样，对于纯变形来说 现在说明应变张量 的物理意义。 如S平行X轴，则 可见， 表示原来与X轴平行的矢量的单位长度的伸长（或压缩），称为线应变或正应变。同理可知 和 的物理意义也是线应变。 如果有两个矢量，变形前分别平行于Ox,Oy轴（图3-3），i,j分别为Ox,Oy方向的单位矢量，则 变形后 则有两矢量的内积定义，有 注意图3-3 故略二次微量后，得 略去高阶微量后得 剪应变的正负号规定为：当两个正方向（或负方向）坐标轴间的直角减小时为正，反之为负。于是，我们得到了二维应变情况下的全部（三个）应变量： 对于平面问题，一点处的应变状态就由这三个应变分量完全确定。 三维问题各应变分量为 显然x轴与y轴间夹角的变化及y轴与