2014创新设计高中数学﹝苏教版﹞第六章第5讲数列的综合应用.ppt

第5讲　数列的综合应用 考点梳理 1．等比数列与等差数列比较表 不同点 相同点 等差 数列 (1)强调每一项与前项的差； (2)a1和d可以为零； (3)等差中项唯一 (1)都强调每一项与前项的关系； (2)结果都必须是同一个常数； (3)数列都可由a1，d或a1，q确定 等比 数列 (1)强调每一项与前项的比； (2)a1与q均不为零； (3)等比中项有两个值 (1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意． (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么． (3)求解——求出该问题的数学解． (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中． 2. 解答数列应用题的步骤 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是Sn与Sn＋1之间的递推关系． 3．数列应用题常见模型 一条主线 数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解． 三种思想 (1)数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)． (2)数列与不等式结合时需注意放缩． (3)数列与解析几何结合时要注意递推思想． 【助学·微博】 1．若数列{an}为等比数列，则下面四个命题： 考点自测 答案　3 2．(2012·南京一模)若数列{an}满足：lg an＋1＝1＋lg an(n∈N*)，a1＋a2＋a3＝10，则lg(a4＋a5＋a6)的值为________． 由等比数列的定义，可知a4＋a5＋a6＝a1q3＋a2q3＋a3q3， 所以lg(a4＋a5＋a6)＝lg q3·(a1＋a2＋a3)＝lg q3＋ lg(a1＋a2＋a3)＝4.故填4. 答案　4 4．(2012·苏锡常镇四市调研(一))等差数列{an}中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是________． 答案　(－∞，7] 解析　由题意知，an＝35＋(n－1)d.对数列{an}中的任意两项ar，as其和为ar＋as＝35＋35＋(r＋s－2)d，设at＝35＋(t－1)d，则35＋(r＋s－2)d＝(t－1)d，即35＝(t－r－s＋1)d.因为r，s，t，d∈N*，所以35是d的整数倍，即d所有可能取值为1,3,9,27,81,243，和为364. 答案　364  5．(2012·盐城第一学期摸底考试)设等差数列{an}满足：公差d∈N*，an∈N*，且{an}中任意两项之和也是该数列中的一项．若a1＝35，则d的所有可能取值之和为________． 【例1】 已知函数f(x)＝log2x－ logx2(0x1)，数列{an}满足 f(2an)＝2n (n∈N*)． 考向一　数列与函数的综合应用 (1)求数列{an}的通项公式； (2)判断数列{an}的单调性． 审题视点　(1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an；(2)通过比较an和an＋1的大小来判断数列{an}的单调性． [方法总结] 本题融数列、方程、函数单调性等知识为一体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力． (1)设a为常数，求证：{an}是等比数列； 【训练1】 已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N＋)是首项为4，公差为2的等差数列． 【例2】 (2012·广东卷)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式； 考向二　数列与不等式的综合应用 (2)解　由题设条件可知，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，④ ∴n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1.⑤ ④－⑤，得 2(Sn－Sn－1)＝an＋1－an－2n＋1＋2n， 即an＋1＝3an＋2n(n≥2)，∴an＋1＋2n＋1＝3(an＋2n)， ∴{an＋2n}是以3为公比的等比数列， ∴an＋2n＝(a1＋2)·3n－1＝3n，即an＝3n－2n(n1)． 又a1＝1满足上式，∴an＝3n－2n. [方法总结] 解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系：一是数列和函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究函数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对