北京文科高考真题-导数和极限.docx

14 北京文科 导数与极限 一 选择、填空题 1（07北京文）9．是的导函数，则的值是 2（08北京文）(13)如图，函数f(x)的图象是折线段ABC, 其中A,B,C的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f(f(0))= ; 函数f(x)在x=1处的导数 . 1.(3) 2.(2,-2) 二 解答题 1（05北京文）（19）（14分）已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a, （I）求f(x)的单调递减区间； （ = 2 \* ROMAN II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值． 解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)0，解得x－1或x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）． （ = 2 \* ROMAN II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a， f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a， 所以f(2)f(－2)． 因为在（－1，3）上f ‘(x)0， 所以f(x)在[－1, 2]上单调递增， 又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减， 因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2． 故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7， 即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7． 2（06北京文）16 （13分）已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.求： （Ⅰ）的值； （Ⅱ）的值. 解法一： (Ⅰ)由图象可知，在(-∝,1)上(x)＞0,在(1,2)上(x)＜0. 在(2,+∝)上(x)＞0. 故f(x)在(-∝,1),(2,+∝)上递增，在(1,2)上递减. 因此f(x)在x=1处取得极大值，所以x0=1.(Ⅱ) (x)=3ax2+2bx+c, 由(1)=0, (2)=0, f(1)=5,得 解得a=2,b=－9,c=12.解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设(x)=m(x-1)(x-2)=mx2-3mx+2m, 又(x)=3ax2+2bx+c, 所以a=,b= f(x)= 由f(l)=5, 即 得m=6. 所以a=2,b=－9,c=12. 3（07北京文）20．（本小题共14分）已知函数与的图象相交于，，， 分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点． （ = 1 \* ROMAN I）求的取值范围； （ = 2 \* ROMAN II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域； （ = 3 \* ROMAN III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）． 解：（ = 1 \* ROMAN I）由方程消得． ① 依题意，该方程有两个正实根，故 解得． （ = 2 \* ROMAN II）由，求得切线的方程为， 由，并令，得 ，是方程①的两实根，且，故，， 是关于的减函数，所以的取值范围是． 是关于的增函数，定义域为，所以值域为， （ = 3 \* ROMAN III）当时，由（ = 2 \* ROMAN II）可知． 类似可得．． 由①可知． 从而．当时，有相同的结果．所以． 4（08北京文）（17）（13分）已知函数是奇函数. （Ⅰ）求a,c的值； （Ⅱ）求函数f(x)的单调区间. 解：（Ⅰ）因为函数g(x)=f(x)-2为奇函数，所以，对任意的x∈R, g (-x)= -g (x), 即f (-x)- 2= -f (x)+2. 又f(x)=x3+ax2+3bx+c, 所以-x3+ax2-3bx+c-2=-x3-ax2-3bx-c+2. 所以{ 解得a=0，c＝2. （Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=x3+3bx+2. 所以f′(x)=3x2+3b(b≠0). 当b＜0时，由f′(x)=0得x=± x变化时，f′(x)的变化情况如下表： x (-∞,- ) - -,) (,+∞) f′(x) + 0 - 0 + 所以，当b＜0时，函数f (x)在（-∞，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增。 当b＞0时，f′(x)＞0.所以函数f (x)在（-∞，+∞）上单调递增. 5（09北京文）18．（本小题共14分）设函数. （Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间与极值点. （Ⅰ）, ∵曲线在点处与直线相切， ∴ （Ⅱ）∵, 当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点. 当时，由， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴此时是的极大值点，是的极小值点. 6（10北京文）18．（本小题