2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析.doc

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学试题 一、选择题:1～8小题每小题4分共32分.下列每题给出的四个选项中只有一个选项符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.，当充分大时，有 取，有即 当时，；当时，.从而. 故选. 【解法二】 根据极限的保号性推论：若则存在，当时， 取，故选. 【解法三】 令，则排除，故选. （2）下列曲线中有渐近线的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【考点】函数的渐近线 【详解】 对于选项A， 不存在，因此没有水平渐近线， 同理可知，选项A没有铅直渐近线， 而不存在，因此选项A中的函数没有斜渐近线； 对于选项B和D，我们同理可知，对应的函数没有渐近线； 对于C选项，.由于，又 .所以存在斜渐近线.故选C. （3）设，当时，若是比高阶的无穷小，则下列选项错误的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【考点】高阶无穷小、泰勒公式、洛必达法则 【详解】 【解法一】 由泰勒展开式：知，若是比高阶的无穷小 则必有：，故选D. 【解法二】 由题意可知 （4）设函数具有2阶导数，，则在区间内（ ） （A）当时， （B）当时， （C）当时， （D）当时， 【答案】D 【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】 令 则 由拉格朗日中值定理知，存在，使得 即 又因为 若，则，所以单调递减， 当单调递增， 当单调递减， 又，所以，即，故选D 【解法二】 令，则函数具有2阶导数，且 所以 当时，，故选D （5）行列式（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【考点】行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【详解】 【解法一】 故选 【解法二】 （6）设为3维向量，则对任意常数，向量组线性无关是向量组线性无关的（ ） （A）必要非充分条件 （B）充分非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 【答案】A 【考点】向量组的线性无关性 【详解】 记 若线性无关，则线性无关. 由线性无关不一定能推出线性无关. 如：，线性无关，但此时线性相关.故选A. （7）设随机事件A与B相互独立，且，，则（ ） （A）0.1 (B)0.2 (C)0.3 (D)0.4 【答案】B 【考点】事件的概率、事件的独立性 【详解】 . .故选B. （8）若是来自正态总体的简单随机样本，则统计量服从的分布为（ ） （A） (B) (C) (D) 【答案】C 【考点】t分布 【详解】 【解法一】 【解法二】 因为分子为正态分布，故不是分布，为分布， 又因为分母仅一项，故自由度为1，选C 二、填空题9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. （12）二次积分 【答案】 【考点】交换累次积分的次序、二重积分的计算 【详解】 （13）设二次型的负惯性指数为1，则的取值范围是 【答案】 【考点】惯性指数、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】 二次型对应的系数矩阵为：，记特征值为 则，即特征值必有正有负，共3种情况； 因二次型的负惯性指数为特征值1负2正或1负1正1零； ，即 【解法二】 若负惯性指数为1，则 （14）设总体的概率密度为，其中是未知参数，为来自总体的简单随机样本，若，则 【答案】 【考点】统计量的数字特征 【详解】 三、解答题15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本题满分10分） 设平面区域，计算 【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】 积分区域关于对称，利用轮换对称性， （17）（本题满分10分） 设函数具有2阶连续导数，满足 ，若，求的表达式. 【考点】多元函数求偏导、一阶线性微分方程 【详解】 令， 即： 两边积分得： 即： 因为，解得 所以 （18）（本题满分10分） 求幂级数的收敛域及和函数. 【考点】幂级数求收敛域、和函数 【详解】 （Ⅰ），收敛半径 当时，级数发散，故收敛域为 （Ⅱ）令， 则 令， 则 又，所以 （19）（本题满分10分） 设函数在区间上连续，且单调增加，. 证明：（I），； （II） 【考点】定积分中值定理、不等式的证明 【详解】 （I）【解法一】 因为函数在区间上连续，且. 所以 即 【解法二】 由定积分中值定理知：存在，使得， 又因为时， 所以 即 【解法三】 设，则， 单调增加 当时，. 设，则 ， 单调减少. 又，当时， 当时， （II）令 由（I）知，又单调增加， ；又因为 在区间上单调增加 又，即 （20）（本题满分11分） 设为阶单位矩