2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析.doc
文本预览下载声明
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学试题一、选择题18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线渐近线的条数为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
【答案】C
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时,如果M到一条直线的距离无限趋近于零,那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
(ii)渐近线分为水平渐近线(,为常数)、垂直渐近线()和斜渐近线(,为常数)。
(iii)注意:如果
(1)不存在;
(2),但不存在,可断定不存在斜渐近线。
在本题中,函数的间断点只有.
由于,故是垂直渐近线.
(而,故不是渐近线).
又,故是水平渐近线.(无斜渐近线)
综上可知,渐近线的条数是2.故选C.
(2)设函数,其中为正整数,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【详解一】本题涉及到的主要知识点:
.
在本题中,按定义
.故选A.
【详解二】本题涉及到的主要知识点:
.
在本题中,用乘积求导公式.含因子项在为0,故只留下一项.于是
故选(A).
(3)设函数连续,则二次积分 ( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B
【详解】本题涉及到的主要知识点:
在本题中,这是把极坐标变换下的累次积分转换为直角坐标系的累次积分.
,
的极坐标表示:,,
,,
现转换成的直角坐标表示,因,
区域由,及围成,因此
.故选(B).
(4)已知级数绝对收敛,级数条件收敛,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【详解】本题涉及到的主要知识点:
级数:当时收敛;当时发散.
在本题中,由绝对收敛收敛即,其中
又条件收敛,即收敛,发散,即
综上,.故选(D).
(5)设, , , ,其中为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【详解】本题涉及到的主要知识点:
个维向量相关
在本题中,显然
,
所以必线性相关.故选(C).
(6) 设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且.若,,则 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【详解】本题涉及到的主要知识点:
设是一个矩阵,对施行一次初等行变换,相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵;对施行一次初等列变换,相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.
在本题中,由于经列变换为,有
,
那么
故选B.
(7)设随机变量X与Y相互独立,且都服从区间(0.1) ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【详解】本题涉及到的主要知识点:
设是平面上的有界区域,其面积为.若二维随机变量具有概率密度
则称在上服从均匀分布.
方法一:由条件知在区域上服从二维均匀分布,要计算相应概率只需利用面积之比,易求得
(圆的面积除以正方形的面积)
故选D.
方法二:由条件知的联合概率密度
从而.
故选D.
(8)设为来自总体的简单随机样本,则统计量的分布为 ( )
(A) N(0,1) (B) t(1) (C) (D)
【答案】B
【详解】本题涉及到的主要知识点:
设随机变量,,且与独立,则随机变量所服从的分布称为自由度为的分布,记为.
在本题中,因为,所以,,
,,.
又相互独立,所以与也相互独立,于是
,即.
故选B.
二、填空题914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. (9)
【答案】
【详解】本题涉及到的主要知识点:
或
在本题中,用求型极限的方法.由于
,
而,
因此
(10)设函数, ,则
【答案】
【详解】不必求出的表达式.
注意,,
于是由复合函数求导法得
(11)设连续函数满足则
【答案】
【详解】本题涉及到的主要知识点:
(i)如果,就说是比高阶的无穷小,记作.
(ii)全微分存在的必要条件 如果函数在点可微分,则该函数在点的偏导数、必定存在,且函数在点的全微分为.
在本题中,
由于
由连续性得.已知条件可改写成
,
由此可知在点处可微,且
(12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形的面积为
显示全部