数学分析(上册)答案-张勇 杨光崇-第一章-实数集与函数.doc

第一章 实数集与函数 思考与练习 1-1 1. 下述命题哪些成立?哪些不成立? ①任何两个有理数的差是有理数. （成立） ②任何两个无理数的差是无理数. （不成立） ③两个不同无理数之间,总有别的无理数. （成立） 2. 可以写成两个整数的比的数称为 有理数 . 3. 任何两个实数之间都有别的实数，这个性质称为实数的 稠密性 . 4. 在和之间还有别的数吗？ （没有） 5. 是有理数还是无理数？(你将看到在一个给定数字序列中的模型). 是无理数 6. 求两个无理数,使其和是有理数. （） 7.“如果则”的逆否命题是 “如果非则非” . 8. 公理和定义是已被认可的,而 定理 则必须证明. 9. 设为有理数,为无理数,证明:①是无理数; ②当时,是无理数. 证：① 用反证法：若是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知，与已知矛盾，所以是无理数。 ②用反证法：若是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知，与已知矛盾，所以是无理数。 10. 证明:在任意两个不同的实数之间,一定存在一个有理数;也一定存在无穷多个有理数(提示:如果,则,所以存在一个自然数使得.考虑整数集合并注意到有下界的整数集一定有最小数). 证法1 (1) 由题目条件，可设，则，由欧基米德定律，存在一个自然数使得，所以，又有下界，故有最小整数， 所以当时，有，因而有,且,.(事实上,如果,此为矛盾) (2) 同上可证,在与(或与)之间一定有另一个有理数,不妨设,则,即之间有无穷多个有理数. 证法2 由题目条件，可设,由第1节的命题可知,存在非负整数,使得,而,第一个结论得证.又因而,而,,即之间有无穷多个有理数. 第二个结论的另一证法:因为,即之间有无穷多个有理数. 11. 写出下述命题的逆命题、否命题和逆否命题,并指出哪些命题是真命题. ① 如果今天下雨,我就在家里工作; ╳ ② 如果这个候选人符合所有的条件,她就能被聘用; √ ③ 设是三角形的边长,如果,则这个三角形是直角三角形; √ ④ 如果角是锐角,则角;√ ⑤ 如果,则.╳ ①逆命题: 今天我在家工作,是因为天下雨. ╳ 否命题: 如果今天不下雨,我就不在家工作. ╳ 逆否命题: 今天我不在家工作,是因为天没下雨. ╳ ②逆命题: 如果这个候选人能被聘用,是因为她符合所有的条件; ╳ 否命题: 如果这个候选人不符合某些条件,她就不能被聘用; ╳ 逆否命题: 如果这个候选人没被聘用,那就是因为她不符合某些条件. √ ③逆命题: 设是直角三角形的边长,则;√ 否命题: 设是三角形的边长,如果,则这个三角形不是直角三角形; √ 逆否命题: 设是三角形的边长,如果这个三角形不是直角三角形, 则;√ ④逆命题: 如果角,则角是锐角; √ 否命题: 如果角不是锐角,则角 .√ 逆否命题: 如果角 ,则角不是锐角; √ ⑤逆命题: 如果,则.╳ 否命题: 如果,则.╳ 逆否命题: 如果,则.╳ 12.若和都是实数,下述命题哪些为真? ① 对任何; √ ② 对任何; ╳ ③ 对任何; ╳ ④ 对任何,存在使得; √ ⑤ 对任何正数,存在另一个正数,使得; √ ⑥ 对任何的; √ ⑦ 存在一个自然数,使得大于任何素数; ╳ ⑧ 对任何的,存在一个,使得; √ ⑨ 对任何的正数,存在一个自然数,使得; √ ⑩ 对任何的正数,都存在一个正整数,使得. √ 思考与练习 1-2 1. 下述命题成立的有: ①由不等式和可得.√ ②如果和是实数,则.√ ③如果,则.√ ④如果对任意的正数,都有,则.√ ⑤如果,则. ╳ ⑥如果实数和同号,则√ ⑦如果,则.√ ⑧如果,则.√ 2. 下述等式成立的有 ①; ②; ③; ④ . 答: ②, ③. 3. 不等式与所表示的实数范围是否相同? 答:不相同, 所表示的实数范围是区间,而所表示的实数范围是区间[2,4]. 4. 与表示的实数范围相同吗? 答:相同,都是开区间. 5. 与等价的不等式是 -1 5 . 6. 如果,则下列哪些结论为正确的: ① ② ③ ④. 答: ②, ③. 7. 试在数轴上表示出下列不等式的解: ① ② ③. 解 ① 由如图2-1； ② 两边平方得，如图2-2； ③ 两边平方得，此为矛盾，故解集为空集； 用图形法给出数轴表示，如图2-3 图2-1 图2-2 图2-3 8. 设 证明:对任何正数有,则. 证 用反证法.若,则令,由已知得,此为矛盾.