数学分析(上册)答案-张勇 杨光崇-第一章-实数集与函数.doc
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第一章 实数集与函数
思考与练习 1-1
1. 下述命题哪些成立?哪些不成立?
①任何两个有理数的差是有理数. (成立)
②任何两个无理数的差是无理数. (不成立)
③两个不同无理数之间,总有别的无理数. (成立)
2. 可以写成两个整数的比的数称为 有理数 .
3. 任何两个实数之间都有别的实数,这个性质称为实数的 稠密性 .
4. 在和之间还有别的数吗? (没有)
5. 是有理数还是无理数?(你将看到在一个给定数字序列中的模型).
是无理数
6. 求两个无理数,使其和是有理数. ()
7.“如果则”的逆否命题是 “如果非则非” .
8. 公理和定义是已被认可的,而 定理 则必须证明.
9. 设为有理数,为无理数,证明:①是无理数; ②当时,是无理数.
证:① 用反证法:若是有理数,则由有理数对四则运算的封闭性,知,与已知矛盾,所以是无理数。
②用反证法:若是有理数,则由有理数对四则运算的封闭性,知,与已知矛盾,所以是无理数。
10. 证明:在任意两个不同的实数之间,一定存在一个有理数;也一定存在无穷多个有理数(提示:如果,则,所以存在一个自然数使得.考虑整数集合并注意到有下界的整数集一定有最小数).
证法1 (1) 由题目条件,可设,则,由欧基米德定律,存在一个自然数使得,所以,又有下界,故有最小整数,
所以当时,有,因而有,且,.(事实上,如果,此为矛盾)
(2) 同上可证,在与(或与)之间一定有另一个有理数,不妨设,则,即之间有无穷多个有理数.
证法2 由题目条件,可设,由第1节的命题可知,存在非负整数,使得,而,第一个结论得证.又因而,而,,即之间有无穷多个有理数.
第二个结论的另一证法:因为,即之间有无穷多个有理数.
11. 写出下述命题的逆命题、否命题和逆否命题,并指出哪些命题是真命题.
① 如果今天下雨,我就在家里工作; ╳
② 如果这个候选人符合所有的条件,她就能被聘用; √
③ 设是三角形的边长,如果,则这个三角形是直角三角形; √
④ 如果角是锐角,则角;√
⑤ 如果,则.╳
①逆命题: 今天我在家工作,是因为天下雨. ╳
否命题: 如果今天不下雨,我就不在家工作. ╳
逆否命题: 今天我不在家工作,是因为天没下雨. ╳
②逆命题: 如果这个候选人能被聘用,是因为她符合所有的条件; ╳
否命题: 如果这个候选人不符合某些条件,她就不能被聘用; ╳
逆否命题: 如果这个候选人没被聘用,那就是因为她不符合某些条件. √
③逆命题: 设是直角三角形的边长,则;√
否命题: 设是三角形的边长,如果,则这个三角形不是直角三角形; √
逆否命题: 设是三角形的边长,如果这个三角形不是直角三角形, 则;√
④逆命题: 如果角,则角是锐角; √
否命题: 如果角不是锐角,则角 .√
逆否命题: 如果角 ,则角不是锐角; √
⑤逆命题: 如果,则.╳
否命题: 如果,则.╳
逆否命题: 如果,则.╳
12.若和都是实数,下述命题哪些为真?
① 对任何; √
② 对任何; ╳
③ 对任何; ╳
④ 对任何,存在使得; √
⑤ 对任何正数,存在另一个正数,使得; √
⑥ 对任何的; √
⑦ 存在一个自然数,使得大于任何素数; ╳
⑧ 对任何的,存在一个,使得; √
⑨ 对任何的正数,存在一个自然数,使得; √
⑩ 对任何的正数,都存在一个正整数,使得. √
思考与练习 1-2
1. 下述命题成立的有:
①由不等式和可得.√
②如果和是实数,则.√
③如果,则.√
④如果对任意的正数,都有,则.√
⑤如果,则. ╳
⑥如果实数和同号,则√
⑦如果,则.√
⑧如果,则.√
2. 下述等式成立的有
①; ②; ③; ④ .
答: ②, ③.
3. 不等式与所表示的实数范围是否相同?
答:不相同, 所表示的实数范围是区间,而所表示的实数范围是区间[2,4].
4. 与表示的实数范围相同吗?
答:相同,都是开区间.
5. 与等价的不等式是 -1 5 .
6. 如果,则下列哪些结论为正确的:
① ② ③ ④.
答: ②, ③.
7. 试在数轴上表示出下列不等式的解:
① ② ③.
解 ① 由如图2-1;
② 两边平方得,如图2-2;
③ 两边平方得,此为矛盾,故解集为空集;
用图形法给出数轴表示,如图2-3
图2-1 图2-2 图2-3
8. 设 证明:对任何正数有,则.
证 用反证法.若,则令,由已知得,此为矛盾.
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