§3.11香烟过滤嘴作用问题.doc

3.11香烟过滤嘴的作用问题 1）问题的提出 普遍认为香烟过滤嘴的作用可使吸烟者对尼古丁和烟焦油等毒物的吸收率减少，肺癌死亡率下降。这有何根据呢？ 本节从定量的角度介绍一个模型，描述烟雾通过香烟的过程，分析人体吸入毒物的数量与哪些因素相关，说明过滤嘴的作用与使用的材料和过滤嘴的长度之间的关系。 2）模型机理 假设毒物均匀地分布在香烟中，吸烟时点燃处的烟草化为烟雾，毒物由烟雾携带着一部分直接进入空气，另一部分沿着香烟穿行。在穿行过程中，又有一部分被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的部分进入人体。的数量比例随吸烟的方式、环境等多种因素的变化而不同。烟雾沿香烟穿行的速度随着吸烟动作变化也不断地变化。为了建立模型，我们希望避开这个复杂的过程。为此，设想吸烟者是架机器，吸烟的动作、方式及外部环境在整个吸烟过程中不变，于是可以认为毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比例、烟雾穿行的速度、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。香烟燃烧速度与相比，可认为燃点处于静止状态。下面用数学语言来描述。 3）模型假设 1．点燃处毒物随烟雾进入空气部分和沿香烟穿行部分的数量比例是； 2．烟雾沿着香烟穿行的速度和香烟燃烧速度都是常数。且； 3．未点燃的烟草和过滤嘴对毒物的吸收率（单位时间内毒物被吸收的比例）分别为常数和； 4．香烟总长为，烟草部分长，则过滤嘴长为。整支香烟所含毒物总量均匀分布在长的烟草当中。于是毒物的平均密度； 5．坐标系如图3-19所示。设时刻，在处点燃香烟，则在时整支香烟燃尽。 图3-19 香烟点燃状态 4）模型建立 首先定义几个基本函数： 毒物流量：在燃烧过程中的时刻，单位时间内通过香烟截面处的毒物量。 烟草毒物密度：在燃烧过程中的时刻，截面处单位长度烟草中的毒物含量。 烟雾毒物密度：在燃烧过程中的时刻，截面处单位长度烟雾内毒物的含量。则。 下面分三个阶段进行建模讨论 1．?确定瞬间，单位时间内通过处的毒物量。 由假设2中关于的假定，可以认为燃点静止不动。 为简单起见，记，。在这一段香烟中，毒物通过和的流量之差为，根据守恒定律这两个流量之差应该等于这一段未燃烟草或过滤嘴对毒物的吸收量，即 或。 因此我们有 ， 即 。 假设可导，令，将上式两边分别求导： 。 再设燃点处在单位时间内放出的毒物量为。由假设1知，从而。这时，我们构成 ， 解之，得 。 根据在处的连续性，可知 ， 因而构成 ， 解得 ， 即 。 当时， 。 2．确定香烟在燃烧过程中任意时刻，单位时间内通过处的毒物流量。 由假设2知为常数，则时刻香烟燃至处。这时，将第1步中的、、分别改记为、、，其中表示时刻点燃的烟草在单位时间内放出的毒物量。根据与第1步完全类似的推导，只需将第1步中的的表达式中的、和分别替换为、和，即得 。 由上式直接得出 。 下面首先确定： 设时刻处，单位时间内燃烧的长度，又烟草内毒物数量的密度为，故。 综合上述、、三式，得 。 现在的任务是确定： 由假设4记。随着的增长，未点燃的烟草在吸烟过程中不断地吸收烟雾中的毒物，致使上升，根据守恒定律其增量应该等于单位长度烟雾中的毒物被未点燃的烟草吸收的部分。即在时间内， ， 令，得 将的表达式代入，推得 对上式从0到积分： 以代入并两端同乘，得 记,则上式为 两端同时对求导，并注意到时，从而得到关于的微分方程 ， 解之，得 。 结合的原始表达式，这等价于 。 于是 ， 。 3．确定抽完整支香烟时通过处的毒物总量。 抽完整支香烟的时间。应用积分的方法，易知 回顾，代入上式，得 。 5）模型分析 根据假设1、4可知，烟雾沿烟草穿行的毒物总量为，过滤嘴长度为。 下面我们从几个不同的角度分析与、、、等因素的关系。 1．注意到的表达式中是使下降的因子。因此，提高值，或加大都能够对起到负指数衰减的效果，并且和在数量上增加一定比例时所起的作用相同。这体现了香烟过滤嘴减少毒物进入人体的作用。另外，降低穿行速度也可减少。 2．记，，则在表达式中的 。 当时，，从而。所以，提高烟草吸收率，或加长也有助于减少。但与和对所起的负指数衰减作用相比，增加和的效果要小得多。 3．当时，因子 ， ， 由此推出。即烟雾穿行的速度过大时，香烟过滤嘴失去作用。因此，奉劝抽烟者切勿猛力抽吸。 4．为了更清楚地对过滤嘴的有效性作出评估，我们比较两支香烟，一支是上述模型讨论的，另外一支没有过滤嘴，香烟总长仍为，但只吸到处即扔掉，参数、、、与第一支相同。 吸第一支和第二支烟进入人体的毒物量分别记作和，当然如同上面的的表达式，也不必重新计算，只需把第二支烟设想成过滤嘴的吸收率与烟草吸收率相同为的假过滤嘴香烟即可，这样由的表达式可直接写出 和 ， 两式相比，我们得到 。 可见，若