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二分法教学的感悟
辽宁省辽师大附中数学组郭文慧
二分法是人教社新课标《数学》必修1(B版)
新出现的内容,我认为“二分法”进入高中教材是
非常必要的,因为“二分法”简便而且应用广泛,任
何方程都可以用“二分法”求近似解,这就为后面
的函数知识的应用提供了一个很好的工具,它体现
了现代课改精神。另外,算法作为一种计算机时代
最重要的数学思想方法,又作为新课程新增的内容
安排在数学必修教材中进行教学,会为更好地学习
数学必修3做准备。“二分法”涉及的主要函数知
识,其理论依据:“函数零点的存在性(定理)”朴素
而又寓意深刻,体现了数学逼近的过程。它包含的
许多以后可以在算法以及其他方面运用和推广的
朴素的思想,可以真实地让学生在学习中感受“整
体_+局部”“定性_÷定量”“精确一+近似”“计算-+
技术”“技法_+算法”这些数学思想发展的过程,具
有萌发数学思想萌芽的数学教育价值。
二分法的一般算法,比较抽象,学生不易理解,
但它是一种通法,只要按部就班的去做,总会算出
结果,这可以让计算机来实现。教学中,不先讲一
般的理论,而是引导学生探究,然后再讲一般理论,
这样便于学生理解。
我在教学中主要解决两个问题,第一,让学生
能够自然地接受“二分法”的基本思想并认识到这
是一种通法、一种算法;第二,引导学生探究“二分
法”的实施步骤与零点的处理。为了更好地解决
这两个问题,首先使用了游戏的方式让学生来猜票
价、猜车厢,主要通过仓Ⅱ设情境引发学生的兴趣,诱
发其探索和求知欲望,利用身边熟悉的事情进行举
例,通过从特殊到一般的探究过程,让他们领悟科
学的探究方法,增强他们的探究能力。学生在游戏
的过程中可以感悟到解决问题的通法是:确定范
围、缩小范围。如何缩小范围?引导学生发现“一
分为二”,进而得到了一个解题的模型,然后进行
知识迁移,与“函数的零点”相结合,使他们自然进
2010年第6期·教师随笔
人函数的零点问题,求函数的零点只是应用这一模
型解决问题。有了第一个问题的解决,处理第二个
问题就很容易,学生很自然地接受了。与此同时.
向学生介绍二次函数的公式解法(二次时,称为求
根公式)。在16世纪,已找到了三次和四次函数
的求根公式,但对于高于4次的函数,类似的努力
却一直没有成功,到了19世纪,根据阿贝尔和伽罗
瓦的研究,人们认识到高于4次的代数方程不存在
求根公式,即不存在用四则运算及根号表示的一般
的公式解。同时,即使对于3次和4次的代数方
程,其公式解的表示也相当复杂,不适宜做具体计
算。因此,对于高次多项式函数及其它的一些函
数,有必要寻求其零点的近似解的方法,这是一个
在计算数学中十分重要的课题。这些既可以激发
学生学习兴趣,又可以解决“为什么学”的问题。
在学习本课之前,学生已经初步掌握了函数零
点的相关知识,初步掌握了由特殊到一般的数学思
想方法,能够利用所学知识解决一些实际问题。同
时,学生学习可能遇到一些困难,如容易忽略“二
分法”的适用范围、对精确度及“二分法”所求的零
点并不都是近似解难以准确理解、对初始区间的确
定还有所欠缺。为了解决学生的上述问题,可通过
具体的例题让他们体会“二分法”的思想。如让学
生观察函数图像,看两函数零点两侧的函数值的关
系,进而得出变号零点、不变号零点的概念;通过数
形结合的方法解决“二分法”的适用范围;结合函
数图象探究x2—2x—l=0的近似解的新方法,结
合引例提出的“通法”,引导学生自主解答、释疑,
根据“二分法”的思想,让他们独立完成解答,并进
行交流、讨论和评析,同时得出:(1)可以得到任意
精确度的零点近似值;(2)当X“a,b],且a,b根
据精确度得到的近似值均为同一个值P时,则x—
P,即求得了近似解;(3)通过这样的方法,仅可以
得到[a,b]内的一个变号零点。这就基本解决了
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万方数据
吉林省教育学院学报·中学教研版—————————一学生可能遇到的困难,然后再通过练习让他们熟悉
利用“二分法”求函数零点的近似值,例如:(1)求
函数f(x)=x3—3x2+2x一6在区间[O,4]内的变号零点;(2)求函数f(x)=x3+x2?2x 2的一个
为正数的零点。(精确到0.1)。通过动手和小组
讨论,锻炼学生的团队合作和交流能力,使他们掌
握:二分法所求的零点并不都是近似解;初始区间
的确定原则;计算终止条件。同时,理解“二分法”
的基本思想,借助计算机等用“二分法”求给定方
程的满足一定精确度的近似解,并体验求方程近似
解的二分法的探究形成过程。最后,师生共同总结
用二分法求函数零点的一般步骤。
教学中要注重运用多媒体辅助教学,充分调动
学生的参与意识、合作意识、探索意识,采用以学生
活动为主。自主探究、合作交流的教学方法。让学生
用计算器或数学软件
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