第2章 离散信源及其测度(ok).ppt

可以证明，对于二维离散平稳信源，条件熵等于极限熵，因此条件熵就是二维离散平稳信源的真实熵 对于一般信源，求出极限熵是很困难的，然而，一般来说，取N不大时就可以得到与极限熵非常接近的条件熵和平均符号熵，因此可以用条件熵和平均符号熵来近似极限熵 2.5 离散平稳信源 2.6 马尔可夫信源 在很多信源的输出序列中，符号之间的依赖关系是有限的，任何时刻信源符号发生的概率只与前边已经发出的若干个符号有关，而与更前面的符号无关。 为了描述这类信源除了信源符号集外还要引入状态集。这时，信源输出消息符号还与信源所处的状态有关。 若一个信源满足下面两个条件，则称为马尔可夫信源： （1）某一时刻信源输出的符号的概率只与当前所处的状态有关，而与以前的状态无关； （2）信源的下一个状态由当前状态和下一刻的输出唯一确定。 （1）某一时刻信源输出的符号的概率只与当前所处的状态有关，而与以前的状态无关。即 当符号输出概率与时刻L无关，称为具有时齐性。即 2.6 马尔可夫信源 （2）信源的下一个状态由当前状态和下一刻的输出唯一确定。 条件（2）表明，若信源处于某一状态 ，当它发出 一个符号后，所处的状态就变了，一定转移到另一状态。 状态的转 移依赖于发出的信源符号，因此任何时刻信源处 在什么状态完全由前一时刻的状态和发出的符号决定。 2.6 马尔可夫信源 例：二阶马尔可夫信源，原始符号集为{1,0}， 条件概率定为：P(0|00)=P(1|11)=0.8 P(1|00)=P(0|11)=0.2 P(0|01)=P(0|10)=P(1|01)=P(1|10)=0.5 由此可见，信源共有2^2=4种状态 E：{e1=00,e2=01,e3=10,e4=11} 2.6 马尔可夫信源 状态之间有转移概率， p(e2/e1)=p(e3/e4)=0.2 p(e2/e4)=p(e1/e3)=p(e2/e3)=p(e3/e2)=0.5 P(e1/e1)=p(e4/e4)=0.8 其状态转移图如下页。在状态转换图中，把信源的每一种状态用圆圈表示，用有向箭头表示信源发出某一符号后由一种状态到另一状态的转移。 2.6 马尔可夫信源 01 10 0:0.5 1:0.2 0:0.2 00 0:0.8 11 1:0.8 1:0.5 0:0.5 1:0.5 由上例可知，m阶马尔可夫信源符号集共有q个符号，则信源共有 个不同状态。信源在某一时刻时，必然处于某一种状态，等到下一个字符输出时，转移到另外一个状态。 2.6 马尔可夫信源 2.6 马尔可夫信源 [例2.2.3] 设信源符号 X∈{x1, x2, x3} ，信源所处的状态S∈{e1, e2, e3, e4, e5} 。各状态之间的转移情况由图2.2.1给出。 2.6 马尔可夫信源 将图中信源在ei状态下发符号xk 的条件概率p(xk /ei)用矩阵表示 由矩阵看出： 由图中看出： 由图中可得状态的一步转移概率： 该信源满足马尔可夫信源定义。 定义： 为各状态的极限概率，则时齐、遍历的马尔可夫信源的熵为 2.6 马尔可夫信源 马尔可夫信源的熵： 这里这给出结论： 表明m阶马尔可夫信源的极限熵等于m阶条件熵。根据求条件熵公式还可得到 2.6 马尔可夫信源 2.6 马尔可夫信源 [例2.2.4] 二元2阶马尔可夫信源，原始信号X的符号集为{X1=0, X2=1}，其状态空间共有nm=22=4个不同的状态e1,e2,e3,e4，即 E：{e1=00,e2=01,e3=10,e4=11} 状态转移图见右图所示。 解：p(e1/e1)= p(x1/e1)=p(0/00)=0.8 p(e2/e1)= p(x2/e1)=p(1/00)=0.2 p(e3/e2)= p(x1/e2)=p(0/01)=0.5 p(e4/e2)= p(x2/e2)=p(1/01)=0.5 p(e1/e3)= p(x1/e3)=p(0/10)=0.5 p(e2/e3)= p(x2/e3)=p(1/10)=0.5 p(e3/e4)= p(x1/e4)=p(0/11)=0.2 p(e4/e4)= p(x2/e4)=p(1/11)=0.8 2.6 马尔可夫信源 由二元信源X∈{0,1}得到的状态空间(e1,e2,e3,e4)和相