2014西城高三一模数学理科.doc

北京市西城区2014年高三一模试卷 数 学（理科） 2014.4 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，集合，，则集合（ ） （A） （B） （C） （D） 2. 已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ） （A） （B） （C） （D） 3．在极坐标系中，且与极轴平行的直线方程是（ ） （A） （B） （C） （D） 4．执行如图所示的程序框，那么输出的a值为（ ） （A） （B） （C） （D） 5．下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ） （A）（B）（C）（D） 6． “”是“方程表示双曲线”的（ ） （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（ ） （A） （B） （C）5 （D）6 8. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ） （A） 4个 （B）6个 （C）10个 （D）14个 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．．，其中，则______．. 若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____．11．12．表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______. 13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答） 14．中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论： 当时，函数的值域为； ，都有成立； ，函数的最大值都等于4. 其中所有正确结论的序号是_________. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．13分） 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为. . （Ⅰ）的大小； （Ⅱ），，求△ABC的面积. 16．13分） 在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成三个等级，寿命大于或等于500天的灯泡是优等品寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品. 寿命（天） 频数 频率 20 30 0 50 合计 （Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出，b的值； （Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级恰好与按等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值 （Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和数学期望.17．14分） 如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：// 平面； （Ⅲ）与平面所成的锐二面角的大小为，求的. 18．13分） 已知函数 其中． （Ⅰ）当时，函数的图象在处的切线方程； （Ⅱ），且，都有，求的取值范围19．14分） 已知椭圆，l与W相交于两点，与x轴、轴分别相交于、点，. （Ⅰ）的方程为，求外接圆的方程； （Ⅱ）判断是否存在直线，使得是线段的两个三等分点说明理由. 20．13分） 在数列中，. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列. 例如数列为的一个4项子列. 试写出的一个3项子列，并使为等差数列； （）为的一个项子列，且为等数列，证明：满足； （）为的一个项子列，且为等比数列，证明：. ．．．．．．．．． ． ；11． ．． ． 注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．13分） （Ⅰ）解：因为 ， 所以 ，……………… 3分 又因为 ，所以 . ……………… 5分 （Ⅱ）解：因为 ，，所以 . …………7分 由正弦定理 ， ………………9分 得 .