本科毕业论文 关于函数极限的多种求法_精品.doc

目录 1 一元函数极限的求法 1 1.1 一元函数极限的定义 1 1.2 一元函数极限求解方法 2 1.2.1 利用定义求极限 2 1.2.2Cauchy求极限 2 1.2.3 利用单调有界原理求极限 3 1.2.4 利用数列与子列、函数与数列的极限关系求极限 3 1.2.5 利用极限的运算法则求极限 4 1.2.6 利用等价代换求极限 4 1.2.7 利用初等变形求极限 5 1.2.8 利用夹逼性准则求极限 5 1.2.9 利用两个重要极限求极限 6 1.2.10 利用变量替换求极限 7 1.2.12 利用洛必达法则求极限 8 1.2.13 利用Toylor公式求极限 9 1.2.14 利用导数的定义求极限 10 1.2.15 利用微分中值定理求极限 11 1.2.16 利用积分定义求极限 12 1.2.17 利用积分中值定理求极限 13 1.2.18 利用级数求极限 13 1.2.19 利用黎曼引理求极限 14 2 二元函数极限的求法 14 2.1 二元函数极限的定义 14 2.2 二元函数极限的若干求法 16 2.2.1 利用定义求极限 16 2.2.2 利用多元函数的洛必达法则求极限 16 2.2.3 利用连续性求极限 17 2.2.4 利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量求极限 18 2.2.5 通过对分式的分子或分母有理化求极限 18 2.2.6 利用极限的夹逼性准则求极限 18 2.2.7 利用等价无穷小变换求极限 19 2.2.8 利用变量替换, 将二重极限化为一元函数中的已知极限求极限 19 2.2.9 利用取对数法求极限 19 2.2.10 用三角变换法求极限 20 2.2.11 利用一元函数中的极限推广求极限 20 2.2.12 利用无穷小的性质求极限 20 2.2.13 利用()法求极限 21 参考文献 22 关于函数极限的多种方法 作者 杨松 指导教师 马玲副教授 （湛江师范学院数学与计算科学学院，湛江 524048） 摘 要 本文较为全面地总结了一元函数，二元函数极限的若干求法，并通过例题加以说明. 关键词 极限；方法 About the Number of Methods Solution Functional Limit Yangsong ( Mathematics and Computational Science School, Zhanjiang Normal University Zhanjiang,524048 China) Abstract The paper more comprehensively summarizes the number of methods of solution of functional limit about the functions of one variable and binary function limit ,and examples to illustrate. Keywords limit;methods 1 一元函数极限的求法 1.1 一元函数极限的定义[1] 定义1 设为定义在上的函数, 为定数, 若对任给的, 存在正数(）, 使得当时有 则称函数当趋于时以为极限,记作 或 定义2 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数.若对任给的, 存在正数, 使得当时，有 , 则称函数当趋于时以为极限, 记作 1.2 一元函数极限求解方法 1.2.1 利用定义求极限 例1[2] 用极限的定义证明 证 ，要（此式解出n有困难），记 ， 此式可改写成 ， 得 （当n1时）至此要.只要,即，故令.则nN时有. 注意 用极限的定义时, 只需要证明存在, 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的(或)一致, 最后结合在一起考虑. 1.2.2 利用Cauchy求极限 例2[2] 设，试证收敛. 证 因为 = = ， ，（只要（即）），故令，则nN时，有 ， 收敛获证. 注意 在事先不知道极限的猜测值时可选择Cauchy准则. 1.2.3 利用单调有界原理求极限 定理1[1] 在实数系中，有界的单调数列必有极限. 例3[2] 设，证明存在. 证 利用不等式 ， 得 （有下界）. = ， 即. 单调下降，有下界.故收敛. 注意 利用单调准则证明极限存在, 主要方面的性质: 单调性和