数值分析期末复习资料.docx

数值分析期末复习题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明误差与有效数字有效数字定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字。两点理解：四舍五入的一定是有效数字绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg.定理1（P6）：若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为考点： （1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）避免误差危害原则原则：避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a）避免相近数相减（方法：有理化）eg. 或减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14数值运算的误差估计公式：一元函数：|ε*( f (x*))| | f ’(x*)|·|ε*(x)|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x*)） eg.P19习题1、2、5多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4插值法插值条件定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a≤x0＜x1＜…＜xn≤b的函数值yi=f(xi)，求次数不超过n的多项式P(x)，使定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n的P(x)存在且唯一拉格朗日插值及其余项n次插值基函数表达式（P26（2.8））插值多项式表达式（P26（2.9））插值余项（P26（2.12））：用于误差估计插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1 差商（均差）及牛顿插值多项式差商性质（P30）：可表示为函数值的线性组合差商的对称性：差商与节点的排列次序无关均差与导数的关系（P31（3.5））均差表计算及牛顿插值多项式四、埃尔米特插值（书P36）两种解法：用定义做：设P3(x)=ax3+bx2+cx+d，将已知条件代入求解（4个条件：节点函数值、导数值相等各2个）牛顿法（借助差商）：重节点eg.P49习题14五、三次样条插值定义分段函数，每段都是三次多项式在拼接点上连续（一阶、二阶导数均连续）考点：利用节点函数值、导数值相等进行解题函数逼近与曲线拟合曲线拟合的最小二乘法解题思路：确定i，解法方程组，列方程组求系数（注意i应与系数一一对应）eg.P95习题17形如y=aebx解题步骤：线性化（2）重新制表（3）列法方程组求解（4）回代数值积分与数值微分代数精度概念：如果某个求积公式对于次数不超过m的多项式准确成立，但对于m+1次多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精度计算方法：将f(x)=1,x,x2, …xn代入式子求解 eg.P100例1插值型的求积公式求积系数定理：求积公式至少具有n次代数精度的充要条件是：它是插值型的。牛顿-科特斯公式掌握科特斯系数n=1,2的情况即可（P104表4-1），性质：和为1，对称性定理：当n为奇数时，牛顿-柯斯特公式至少有n次代数精度；当阶n为偶数时，牛顿-科特斯公式至少具有n+1次代数精度在插值型求积公式中求积节点取为等距节点，即 ，k=0，1，2，….n。则可构造牛顿-柯斯特求积公式: n=1时，求积公式为梯形公式： n=2时，求积公式为辛普森公式：n=4时，求积公式为柯特斯公式：低阶求积公式的余项：梯形公式： 辛普森公式：柯特斯公式：复合梯形公式及余项（P106）复合辛普森公式及余项（P107）高斯型求积公式（书P117-120）定义：如果求积公式具有2n+1次代数精度，则称其节点xk为高斯点。求积公式：余项： 解线性方程组的直接方法高斯消去法：利用增广矩阵LU分解 Ly=b；Ux=y1、特点：L对角线均为1，第一列等于A的第一列除以a11；U的第一行等于A的第一行2、LU分解唯一性：A的顺序主子式Di≠0平方根法： 例题：用平方根法解对称正定方程组 解：先分解系数矩阵A改进平方根法： 追赶法：A=LU，Ly=f，Ux=y范数（误差分析）1、向量范数定义及常用范数 2、矩阵范数定义及常用范数 其中表示半正定矩阵的最大特征值，矩阵的前三种范数分别与向量的前三种范数相容条件数条件数是/item/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84线性方程组Ax=b的解对b中的误差或不确定度的敏感性的度量。数学定义为矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即 的逆‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。所以当cound（A）1时，方程组Ax=b是病态的，否则称为良态条件数的性质： 解线性方程组的迭代法迭代