8.2+一元线性回归模型及其应用（学案）-2023高二数学教材配套学案+课件+练习（人教A版选择性必修第三册）_new.docx
专注：心无旁骛，万事可破
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专注：心无旁骛，万事可破
8.2一元线性回归模型及其应用
【学习目标】
学习目标
素养要求
1.了解随机误差、残差、残差图的概念．
2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．
3.了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．
数学运算
数学建模
【自主学习】
一、回归分析的相关概念
1.回归分析
回归分析是对具有的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
2.回归直线方程
方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up8(^))是待定参数，其最小二乘估计分别为：
其中eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i，eq\x\to(y)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，称为样本点的中心．
3.线性回归模型
线性回归模型为，其中为模型的未知参数，称为随机误差，自变量x称为变量，因变量y称为变量．
二、残差的概念
对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)而言，它们的随机误差为ei＝，i＝1,2，…，n，其估计值为eq\o(e,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(y,\s\up6(^))i＝yi－eq\o(b,\s\up8(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))，i＝1,2，…，n，eq\o(e,\s\up6(^))i称为相应于点(xi，yi)的．
三、刻画回归效果的方式
残差图
作图时纵坐标为，横坐标可以选为，或，或
等，这样作出的图形称为残差图
残差
图法
残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高
残差
平方和
残差平方和为，残差平方和，模型的拟合效果越好
相关
指数R2
R2＝，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，R2越接近于，表示模型的拟合效果越好
【小试牛刀】
1、思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1）经验回归方程适用于一切样本和总体．(）
(2）经验回归方程一般都有局限性．(）
(3）样本取值的范围会影响经验回归方程的适用范围．(）
(4）经验回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．(）
2.如果记录了x，y的几组数据分别为(0，1），(1，3），(2，5），(3，7），那么y关于x的经验回归直线必过点(）
A．(2，2）B．(1.5，2）C．(1，2）D．(1.5，4）
【经典例题】
题型一求线性回归方程
点拨：求线性回归方程的基本步骤
1.列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系；只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．
2.计算：eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.
3.代入公式求出eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中参数eq\o(b,\s\up8(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的值．
4.写出线性回归方程并对实际问题作出估计．
例1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：
x
6
8
10
12
y
2
3
5
6
(1)请画出上表数据的散点图(要求：点要描粗)；
(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；
(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．
【跟踪训练】1为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到北方某城市2016