线性代数高等代数知识点总结.ppt

正交矩阵定义：正交矩阵的性质：第32页,共54页，2024年2月25日，星期天*线性方程组线性方程组的表示方程式：矩阵式：Ax=b,其中A=(aij)m×n,x=(xi)n×1,b=(bi)m×1向量式：x1?1+...+xn?n=b,其中?i是xi的系数列第33页,共54页，2024年2月25日，星期天*解的判定:1.n元线性方程组Ax=b有解?系数矩阵与增广矩阵的秩数相等.具体地，当秩A＜秩(Ab)时，方程组无解当秩A＝秩(Ab)＝n时，方程组有唯一解当秩A＝秩(Ab)＜n时，方程组有无穷解2.线性方程组有解?常数列可由系数列线性表示.此时,解恰为表示的系数第34页,共54页，2024年2月25日，星期天*解法Cramer法则Gauss-Jordan消元法：用行变换和列换法变换将增广矩阵化成行最简形写出行最简形对应的方程组取每个方程的第一个变量为主变量，其余的为自由变量，并解出主变量写出参数解或通解第35页,共54页，2024年2月25日，星期天*解的结构齐次线性方程组Ax=0：解空间：解的集合基础解系：解空间的基底通解：设?1,…,?s是一个基础解系,则通解为?=c1?1+...+cs?s，其中c1,...,cs是任意常数解空间的维数＝未知数个数－系数矩阵的秩数设秩A=r,则Ax=0的任何n-r个无关的解都是基础解系第36页,共54页，2024年2月25日，星期天*一般线性方程组Ax=b：Ax＝b和Ax=0的解的关系：Ax＝b的两个解之差是Ax=0的解Ax＝b的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解Ax=b的解的线性组合是设Sb和S0分别表示Ax＝b和Ax=0的解集合，则Sb＝S0+?，???Sb通解：设?1,…,?s是一个基础解系,?是Ax=b的一个解,则通解为?=c1?1+...+cs?s+?，其中c1,...,cs是任意常数Ax=0的解，当系数和＝0时；Ax=b的解，当系数和＝1时.第37页,共54页，2024年2月25日，星期天*矩阵计算行列式：①化三角形；②展开+递推求逆矩阵：①行变换；②伴随求秩数：①初等变换；②定义计算第38页,共54页，2024年2月25日，星期天*方程组的计算求基础解系：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)已知秩A＝r，则任何r个无关解都是基础解系求通解：Gauss-Jordan消元法(行变换+列换法)带参数的方程组：先化简，再判定.可先考虑唯一解的情形.特别是有系数行列式时.第39页,共54页，2024年2月25日，星期天*向量的计算设S：?1,...,?s是n元向量组(无论行或列)求S的秩数：S的秩数=它组成的矩阵的秩数判断S的相关性：设x1?1+...+xs?s=0,将其转化成x的方程组.若方程组有非零解，则S相关；否则，无关.求S的秩数.若秩S?s,则相关；若秩S＝s,则无关线性表示：令?=x1?1+...+xs?s,将其转化成x的方程组.若方程组有(唯一)解，则?可由S(唯一)表示，且方程组的解就是表示的系数；否则，?不可由S表示.第40页,共54页，2024年2月25日，星期天*求极大无关组：若已知秩S＝r，则在S中找出r的无关的向量即可将S中的向量写成列的形式组成矩阵，对矩阵作行变换，化成阶梯形，则S与阶梯矩阵的列向量组线性关系一致.第41页,共54页，2024年2月25日，星期天第42页,共54页，2024年2月25日，星期天第43页,共54页，2024年2月25日，星期天第44页,共54页，2024年2月25日，星期天第45页,共54页，2024年2月25日，星期天第46页,共54页，2024年2月25日，星期天1错（至少有一组，非任意）2对3错（同1）4错（是当且仅当，即只存在唯一一组）5对6对7错（无穷不等于任意）8错（或）9对10错（整体无关，部分无关；部分相关，整体相关。反之皆未必）11错（同上）12错（这样的不全为0的数组不唯一）13错（是至少有一组，不是全部）14错（还要条件：线性无关）15错（同上）16错（比如3行4列矩阵，秩为3时）17错18错19错20对第47页,共54页，2024年2月25日，星期天第48页,共54页，2024年2月25日，星期天第49页,共54页，2024年2月25日，星期天第50页,共54页，2024年2月25日，星期天．学习过程中常见的失误1.未