323空间向量与空间角距离.doc

第三课时　空间向量与空间角、距离 山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m. 问题1：如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？ 提示：设异面直线AC与BD所成角为θ， 则cos θ＝|cos〈，〉|. 问题2：如何求斜线BD与地面所成角α？ 提示：设地面的法向量为n， 则sin α＝|cos〈，n〉|. 问题3：如何求水平地面与斜坡面所成二面角β？ 提示：cos〈，〉． 1．空间角及向量求法 角的分类 向量求法 范围 异面直线所成的角 设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ (0，] 直线与平面所成的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝ [0，] 二面角 设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ [0，π] 2．空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A，B为空间中任意两点，则d＝|AB| 点面距 设平面α的法向量为n，Bα，Aα，则B点到平面α的距离d＝ 1．若直线l(方向向量为a)与平面α(法向量为n)所成的角为θ，则当〈a，n〉[0，]时，θ＝－〈a，n〉；当〈a，n〉(，π]时，θ＝〈a，n〉－. 2．将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时，应注意二面角是锐角还是钝角的判断． 3．点到面距离的求法： (1)如图，BO平面α，垂足为O，则点B到平面α的距离就是||. (2)若AB是平面α的任一斜线段，则在RtBOA中，||＝||cosABO＝＝.如果平面α的法向量为n，则||＝. 求异面直线所成的角 [例1]　如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，VDC＝θ. 当θ＝时，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． [思路点拨]　在坐标系中确定点A，C，V，D的坐标，然后求出向量，的坐标，即可运用公式求解． [精解详析]　AC＝BC＝2，D是AB的中点，所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)． 当θ＝时，在RtVCD中，CD＝，故V(0,0，)． 所以＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)． 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为. [一点通]　利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是(0，]，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|. 1．(2012·陕西高考)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(　　) A.　　　　　　　B. C. D. 解析：设CB＝1，则A(2,0,0)，B1(0,2,1)，C1(0,2,0)， B(0,0,1)，＝(0,2，－1)，＝(－2,2,1)． cos〈，〉＝＝＝. 答案：A 2.如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB＝60°，AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则O(0,0,0)，O1(0,1，)， A(，0,0)， A1(，1，)，B(0,2,0)， ＝－ ＝(－，1，－)， ＝－ ＝(，－1，－)． cos〈，〉 ＝＝＝－. ∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为. 求线面角 　　[例2]　正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角． [思路点拨]　可考虑以下两种思路：一是由定义作出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解． [精解详析]　建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，B(0，a,0)， A1(0,0，a)，C1(－a，，a)． 法一：取A1B1的中点M， 则M(0，，a)．连结AM，MC1， 有＝(－a,0,0)，＝(0，a,0)，＝(0,0，a)． ·＝0，·＝0， ⊥，， 即MC1