第五讲极限连续偏导数(题)()解析.ppt

第五 讲 极限、连续、偏导数 1°多元函数极限与连续 方法 : (1) 利用极限的四则运算法则 1、极限的计算 (2) 利用等价无穷小代换 (3) 利用夹逼定理 证明极限不存在的方法： 选择两条不同的路径，证明其有不同的极限值 例1 计算 ： 解 (1) 设 则对 有 据夹逼定理知: 现 据夹逼定理知: 2、函数的连续性 f (x , y) 在点 (x0 , y0) 处连续 ? 例2 讨论 的连续性 解 在 的点处 , 为初等函数 ? f (x , y) 在 的点处连续 在 点处 , 考虑 由于 据夹逼定理知: ? f (x , y) 在 上处处连续 ? f (x , y) 在 的点处连续 2°偏导数、全微分、方向导数 1、偏导数 方法 : (1) 利用偏导数的定义 (2) 利用链式法则 (3) 利用全微分 例3 (练习七/三) 研究 在 (0 , 0) 处偏导数的存在性 解 不存在 例4 设 讨论 f (x , y) 在 (0 , 0) 点处的可微性 解 只需验证 ? 若令 ?x = ?y ? 上式 ? f (x, y) 在 (0 , 0) 处不可微 则在 (0 , 0) 点处 f (x , y) (A) 偏导数不存在 (B) 不可微 (C) 偏导数存在且连续 (D) 可微 例5 讨论 解 当 (x , y) 沿 y = x 趋向于 ( 0 , 0) 点时 不存在 ? f (x, y) 在 (0 , 0) 处可微 , 故选 ( D ) 例6 (练习七/二(3)) 设 , 求 例7 设 , 求 解 解 例8 (练习七/四) 设 , 其中 f 有 一阶连续偏导数 , 且 f (1 , 1) = 1 , f1(1 , 1) = p , f 2(1 , 1) = q , 求 和 解 令 x = 1 得 例9 若函数 z = f (x , y) 可微 , 且 , 则当 x ? 0 时 , 计算 解 由 两边对 x 求导数 , 得 例10 (练习七/五) 若函数 f (x , y) 有一阶连续偏导数 , , 求 解 由 两边对 t 求导数 , 得 将 代入上式 , 得 设 u = f (z) , z = x + y?(z) , 其中 f , ? 可导 , 求 例11 (练习七/二(4)) 解 四个变量 , 两个方程 例12 (练习七/二(5)) 设 u = z(x , y) 由方程 F(x + 2y + 3z , xy2z3) = 0 所 确定 , 其中 F 可微 , 求 解 将方程两边对 y 求偏导数有 例13 (练习七/七) 设 u = z(x , y) 由方程 x = f (u , v) , y = g(u , v) , z = h(u , v) 所确定 , 求 , 其中 f , g , h 有一阶连续偏导数 , 且 fv ? 0 解 对方程组取全微分有 由 2、方向导数 方法: (1) 利用定义 (2) 例14 (练习七/八) 证明: 函数 在 M0(0 , 0) 点处沿 任一方向 的方向导数都有 解 任取一方向: 例15 (练习八/一(3)) 求函数 在点 M0( 3 , ?4 ) 处沿函数过 该点的等值线外法向 的方向导数 解 ? 过 M0 点的 f (x, y) 的等值线: 因为 其在 M0 点的外法向: ? 外法向: 又