微分算子法用整理总结.doc

PAGE \* MERGEFORMAT PAGE \* MERGEFORMAT 1 微分算子法 微分算子法分类小结 n阶微分方程 1、二阶微分方程： +p(x)+q(x)y=f(x) 2、n阶微分方程： y(n)+a1y(n-1)+a2y(n-2)+a3y(n-3)+ ... +any=f(x) 微分算子法 1、定义符号：，D表示求导，如Dx3=3x2，Dny表示y对x 求导n次；表示积分，如x=2 , x表示 对x 积分n次，不要常数。 2、计算 将n阶微分方程改写成下式： Dny+a1Dn-1y+a2Dn-2y+a3Dn-3y+ ... +an-1Dy+any=f(x) 即 （Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an）y=f(x) 记F(D)=Dn+a1Dn-1+a2Dn-2+a3Dn-3+ ... +an-1D+an 规定特解：y*= 3、的性质 (1)性质一：ekx =ekx (F(k) 不等于0） 注：若k为特征方程的m重根时，有 ekx = xmekx = xmekx (2)性质二：ekx v(x)= ekxv(x) (3)性质三：特解形如sin(ax)和 cos(ax) i.考察该式（该种形式万能解法）：eiax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 eiax= cos(ax)+isin(ax) 虚数 i2 = -1 ii.若特解形如sin(ax)和cos(ax)，也 可按以下方法考虑： 若F(-a2) 0，则 sin(ax)=sin(ax) cos(ax)=cos(ax) 若F(-a2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a2为F(-a2) 的m重根，则 sin(ax)=xmsin(ax) cos(ax)=xmcos(ax) (4)性质四（多项式）： （xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp） = Q(D)（xp+b1xp-1+b2xp-2+...+bp-1x+bp） 注：Q(D)为商式，按D的升幂排列，且D的最高次幂为p 。 性质五（分解因式）: == 性质六: = 三、例题练习 例1. +4y=ex 则(D2+4)y=ex ,特解y*=ex=ex=ex (性质一) 例2、 y(4)+y=2cos(3x），则(D4+1)y= 2cos(3x） 特解y*=2cos(3x）= 2cos(3x） = 2cos(3x）=cos(3x）(性质三) 例3、-4+4y= x2e2x ,则(D2-4D+4)y= x2e2x 特解y*=x2e2x = e2xx2 = e2xx2 = x4e2x （性质二） 例4、-3+3- y=ex ,则(D3-3D2+3D-1)y=ex 特解y*=ex =ex1 =ex1=x3ex (性质二） 例5、-y=sinx ,则(D3-1)y=sinx ,特解y*=sinx 考察eix eix= eix=eix=eix =(cosx+isinx) =-(cosx+sinx)+i(cosx-sinx) 取虚部为特解y*=(cosx-sinx) (性质一、三) 例6、+y=cosx ，则(D2+1)y=cosx ，特解y*=cosx 考察eix eix= eix=eix =eix=eix1 =-xeix=xsinx-i