2013湖南高考理科数学(纯WORD版)真题.doc

2013年湖南高考数学（理工农医） 一、选择题 1.复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第一象限 C.第一象限 D.第一象限 2.某学校有男、女学生各500名。为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异。拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则它宜采用的抽样方法是（ ） A.抽签法 B. 随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法 3.在锐角中，角所对的边长分别为。若，则角等于（ ） A. B. C. D. 4. 若变量满足约束条件，则的最大值是（ ） A. B. 0 C. D. 5.函数的图象与函数的图象的交点个数为（ ） A.3 B. 2 C.1 D.0 6.已知是单位向量，若向量满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于（ ） A.1 B. C. D. 8 . 在等腰直角中，，点是边上异于的一点。 光线从点 出发，经反射后又回到点（如图1）。若光线经 过的重心，则等于（ ） A.2 B. 1 C. D. 二、填空题： （一）选做题（三选二） 9.在直角坐标系中，若直线（为参数）过椭圆（为参数）的右顶点，则常数的值为 10.已知则的最小值为 11.如图2，在半径为的中，弦相交于点， ，则圆心到弦的距离为 （二）必做题 12.若，则常数的值为 13.执行如图3所示的程度框图，如果输入，则输出的的值为 14.设是双曲线的两个焦点，是上一点。若，且的最小内角为，则的离心率为 15.设为数列的前项和，则 16.设函数。其中 记集合不能构成一个三角形的三条边长，且，则所对应的的零点的取值集合为 若是的三条边长，则下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） ① ②使不能构成一个三角形的三条边长； ③为钝角三角形，则使。 三、解答题：共6个小题，共75分。 17.已知函数 （Ⅰ）若是第一象限角，且，求的值； （Ⅱ）求使成立的的值的集合。 18.某人在如图4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 51 48 45 42 这里，两株作物“相近”是指它们这间的直线距离不超过1米。 （Ⅰ）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； （Ⅱ）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。 19.如图5，在直棱柱中， （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值。 20.在平面直角坐标系中，将从点出发沿纵、横方向到达点的任一路径称为到的一条“路径”。如图所示的路径与路径都是到的“路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面内三点 处，现计划在轴上方区域（包含轴）内的某一点处修建一个文化中心。 （Ⅰ）写出点到居民区的“路径”长度最小值的表达式（不要求证明）； （Ⅱ）若以原点为圆心，半径为1的圆的内部都是保护区，“路径”不能进入保护区，请确定点的位置，使其到三个居民区的“路径”长度之和最小。 21.过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同直线，且。与相交于点，与相交于点，以为直径的圆，圆（为圆心）的公共弦所在直线记为， （Ⅰ）若，证明； （Ⅱ）若点到直线的距离的最小值为，求抛物线的方程。 22.已知，函数 （Ⅰ）记在区间上的最大值为，求的表达式； （Ⅱ）是否存在，使函数在区间内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。 图1 开始 输入 结束 输出 是 否 图3 图2 3 1 2 O 4 2 3 4 1 图4 图6