2007-2008 秋季学期拓扑学期末考试题.PDF

2007-2008 秋季学期拓扑学期末考试题 马力 2008 年1 月7 日 以下共五道大题，每题20 分． 1、(1) 叙述Van Kampen 定理． (2) 计算2 维射影空间RP2 的基本群． (3) 当n≥3 时，n 维射影空间RPn 的基本群是什么？说说你的理由． (4) 设X 是两个维数大于 1 的球面（它们的维数可以不同）相切于一点，证 明X 是单连通的． 2、(1) 给出覆盖空间（注：即覆叠空间）的定义和一个非平凡的例子． (2) 设空间X 与Y 在(x , y ) 的基本群是π (X×Y，(x , y )) ，它与π (X，x )及π (Y， 0 0 1 0 0 1 0 1 y 0)之间的关系是什么？ (3) 证明紧致连通可剖分拓扑群的欧拉示性数为0 ． (4) 设X 为n 维空间Rn 的子集，f ：X→S 连续，证明f 不可能是同胚． n 3、设f ：X→Y 是紧空间X 到紧Hausdorff 空间Y 的单、满映射． 若图G(f )={(x ,f (x)) ：x ∈X)}是X×Y 中的闭集，证明f 是同胚． 4、叙述一般维数的Brouwer 不动点定理并给出证明． 5、(1)假定f ：S →S 有deg(f )≠0，证明f 是满射． n n (2)证明偶数维的球面不可能是拓扑群．