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附录 A:有限元分析 (FEA) 方法 有限元分析 (FEA) 物理系统举例 有限元模型 自由度（DOFs） 节点和单元 节点和单元 (续) 节点和单元 (续) 节点和单元 (续) 单元形函数 单元形函数(续) 单元形函数(续) 单元形函数(续) * * 有限元分析是利用数学近似的方法对真实物理系统（几何和载荷工况）进行模拟。还利用简单而又相互作用的元素，即单元，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。 定义 历史典故 结构分析的有限元方法是由一批学术界和工业界的研究者在二十世纪五十年代到二十世纪六十年代创立的。 有限元分析理论已有100多年的历史，是悬索桥和蒸汽锅炉进行手算评核的基础。 几何体 载荷 物理系统 结构 热 电磁 真实系统 有限元模型 有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。 定义 自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。 结构 DOFs 结构 位移 热 温度 电 电位 流体 压力 磁 磁位 方向 自由度 ROTZ UY ROTY UX ROTX UZ 节点: 空间中的坐标位置，具有一定自由度和 存在相互物理作用。 单元: 一组节点自由度间相互作用的数值、矩阵 描述（称为刚度或系数矩阵)。单元有线、 面或实体以及二维或三维的单元等种类。 有限元模型由一些简单形状的单元组成，单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。 载荷 载荷 每个单元的特性是通过一些线性方程式来描述的。 作为一个整体，单元形成了整体结构的数学模型。 尽管梯子的有限元模型低于100个方程（即“自由度”），然而在今天一个小的 ANSYS分析就可能有5000个未知量，矩阵可能有25，000，000个刚度系数。 历史典故 早期 ANSYS是随计算机硬件而发展壮大的。ANSYS最早是在1970年发布的，运行在价格为＄1，000，000的CDC、由Univac和IBM生产的计算机上，它们的处理能力远远落后于今天的PC机。一台奔腾PC机在几分钟内可求解5000×5000的矩阵系统，而过去则需要几天时间。 信息是通过单元之间的公共节点传递的。 分离但节点重叠的单元 A和B之间没有信息传递 （需进行节点合并处理） 具有公共节点的单元 之间存在信息传递 . . . A B . . . . . . . . A B . . . 1 node 2 nodes 节点自由度是随连接该节点 单元类型 变化的。 J I I J J K L I L K I P O M N K J I L 三维杆单元 (铰接) UX, UY, UZ 三维梁单元 二维或轴对称实体单元 UX, UY 三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, 三维实体热单元 TEMP J P O M N K J I L 三维实体结构单元 ROTX, ROTY, ROTZ ROTX, ROTY, ROTZ UX, UY, UZ, UX, UY, UZ FEA仅仅求解节点处的DOF值。 单元形函数是一种数学函数，规定了从节点DOF值到单元内所有点处DOF值的计算方法。 因此，单元形函数提供出一种描述单元内部结果的“形状”。 单元形函数描述的是给定单元的一种假定的特性。 单元形函数与真实工作特性吻合好坏程度直接影响求解精度。 真实的二次曲线 . 节点 单元 二次曲线的线性近 (不理想结果) . 2 节点 单元 DOF值二次分布 . . 1 节点 单元 线性近似 (更理想的结果) 真实的二次曲线 . . . . . 3 节点 单元 二次近似 (接近于真实的二次近似拟合) (最理想结果) . . 4 遵循: DOF值可以精确或不太精确地等于在节点处的真实解，但单元内的平均值与实际情况吻合得很好。 这些平均意义上的典型解是从单元DOFs推导出来的（如，结构应力，热梯度）。 如果单元形函数不能精确描述单元内部的DOFs，就不能很好地得到导出数据，因为这些导出数据是通过单元形函数推导出来的。 遵循原则: 当选择了某