2025版高中数学第一章集合与函数概念专题强化练2二次函数在闭区间上最大小值的求法含解析新人教A版必修1.docx
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专题强化练2二次函数在闭区间上最大(小)值的求法
一、选择题
1.(2024江西新余分宜中学高一上其次次段考,)已知函数f(x)=x2-2x在区间[-1,t]上的最大值为3,则实数t的取值范围是 ()
A.(1,3] B.[1,3] C.[0,3] D.(-1,3]
2.(2024山东青岛其次中学高一上期中,)函数f(x)=x-x+1的最小值为 ()
A.-54 B.-12 C.-1
3.(2024天津一中高一上期中,)已知二次函数f(x)=x2-2x-4在区间[-2,a]上的最小值为-5,最大值为4,则实数a的取值范围是 ()
A.(-2,1) B.(-2,4]
C.[1,4] D.[1,+∞)
4.(2024天津六校高一上期中联考,)设函数f(x)=-(x-a)2+a2,x≤0,-x2+2x
A.[4,+∞) B.[2,+∞) C.[1,+∞) D.[1,2]
二、填空题
5.()函数f(x)=x2+2x+a,若对随意x∈[1,+∞),f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是.?
6.(2024重庆高一上月考,)已知函数f(x)=x2-2x+2在闭区间[0,m]上有最大值2,最小值1,则m的取值范围为.?
7.(2024江西临川一中高一上月考,)已知函数f(x)=x2-4x+10(x∈[m,n])的值域为[3m,3n],则2m+n=.?
三、解答题
8.(2024山东枣庄滕州一中高一上月考,)已知函数g(x)=ax2-2ax+1+b(a0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1.
(1)求a,b的值;
(2)设f(x)=g(x)x-2,若不等式f(x)-k0在x∈(2,5]
9.()某旅行团去风景区旅游,若该团人数不超过30,飞机票每张收费900元;若该团人数多于30,则赐予实惠,每多1人,机票每张削减10元.该旅行团乘坐飞机,旅行社需付给航空公司包机费15000元.假设一个旅行团不能超过70人.
(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数关系式;
(2)该团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
10.(2024山东师范高校附属中学高一上第一次学分认定考试,)已知二次函数f(x)=x2-5x+4.
(1)求函数h(x)=f(x)-(2t-5)x在区间[0,1]上的最小值,其中t∈R;
(2)当x∈[1,3]时,y=f(x)的图象恒在函数y=mx+7的图象上方,试确定实数m的取值范围.
案全解全析
第一章集合与函数概念
专题强化练2二次函数在闭区间上最大(小)值的求法
1.D
2.A
3.C
4.B
一、选择题
1.D函数f(x)=x2-2x的图象如图所示:
因为f(-1)=3,f(3)=3,所以当f(x)在区间[-1,t]上的最大值为3时,t的取值范围为-1t≤3,即t∈(-1,3].故选D.
2.A令t=x+1,t≥0,则x=t2-1,则y=t2-t-1=t-122-54,故函数的最小值在t=12处取到,则y
方法技巧
应用换元法将问题转化为求二次函数在给定区间内的最值问题.
3.C∵f(x)=x2-2x-4=(x-1)2-5,
∴f(x)min=f(1)=-5,
由题知,f(x)max=4,
即x2-2x-4=4,解得x=-2或x=4,
作出f(x)的大致图象如图所示.
由题意及图象可知,1≤a≤4.故选C.
4.B已知f(x)=-(
当x≤0时,f(x)=-(x-a)2+a2的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=a,f(0)=0;当x0时,f(x)=-x2+2x+1-a的图象开口向下,图象的对称轴为直线x=1,此时f(x)max=f(1)=2-a.
若使得f(0)是f(x)的最大值,则满意a≥0,2-a≤0,解得
二、填空题
5.答案(-3,+∞)
解析∵对随意x∈[1,+∞),f(x)0恒成立,
∴只需满意f(x)min0(x∈[1,+∞))即可.
由题知,f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1,
∴f(x)在[1,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(1)=3+a.
∴3+a0,解得a-3.
故a的取值范围是(-3,+∞).
6.答案[1,2]
解析f(x)=(x-1)2+1,
由f(x)min=1得,1∈[0,m],即m≥1.
又f(x)max=2,且f(0)=2,
∴f(m)≤2,即m2-2m+2≤2,
解得0≤m≤2.
综上所述,m的取值范围是[1,2].
7.答案9
解析因为f(x)=x2-4x+10=(x-2)2+6≥6,所以3m≥6,解得m≥2.
又函数f(x)图象的对称轴为直线x=2,
所以函数f(x)在[m,n]上单调递增.
所以f(m)=3m,f(n)=3n,即