考研数学公式手册.doc

PAGE 一、高等数学 (一) 函数、极限、连续 考试内容 公式、定理、概念 函数和隐函数 函数：设有两个变量和，变量的定义域为，如果对于中的每一个值，按照一定的法则，变量有一个确定的值与之对应，则称变量为变量的函数，记作： 基本初等函数的性质及其图 形，初等函数，函数关系的建立： 基本初等函数包括五类函数: 1幂函数:; 2指数函数(且); 3对数函数:( 且); 4三角函数:如等; 5反三角函数:如 等. 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合步骤所构成，并可用一个数学式子表示的函数，称为初等函数. 数列极限与函数极限的定义及其性质，函数的左极限与右极限 1 2 3(保号定理) , 无穷小和无穷大的概念及其 关系，无穷小的性质及无穷小的比较 是同阶无穷小， 无穷小的性质 有限个无穷小的代数和为无穷小 有限个无穷小的乘积为无穷小 无穷小乘以有界变量为无穷小 Th 在同一变化趋势下，无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大 极限的四则运算 (1)； ； 极限存在的两个准 则：单调有界准则和夹逼准则，两个重要极限： 1 2单调有界定理：单调有界的数列必有极限 3两个重要极限： 重要公式： 4几个常用极限特例 函数连续的概念：函数间断 点的类 型：初等函数的连续性：闭区间上连续函数的性质 连续函数在闭区间上的性质： (1) (连续函数的有界性)设函数在上连续,则 在上有界,即常数，对任意的,恒有 . (2) (最值定理)设函数在上连续,则在上 至少取得最大值与最小值各一次,即使得: ； . (3) (介值定理)若函数在上连续,是介于与 (或最大值与最小值)之间的任一实数,则在 上至少一个,使得 (4) (零点定理或根的存在性定理)设函数在上连 续,且,则在内至少一个,使得 (二) 一元函数微分学 考试内容 对应公式、定理、概念 导数和微分的概念左右导数导数的几何意义和 物理意义 1：（1） 或 （2） 2函数在处的左、右导数分别定义为： 左导数： 右导数： 函数的可导性与连续性之间的关系，平面曲线的切线和 法线 Th1: 函数在处可微在处可导 Th2: 若函数在点处可导，则在点处连续，反之则不成立.即函数连续不一定可导. Th3: 存在 导数和微分的四则运算，初等函数的导数， 四则运算法则:设函数，在点可导则 (1) (2) (3) 基本导数与微分表 (1) （常数） (2) (为实数) (3) 特例 (4) 特例 (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) 复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分 法， 1反函数的运算法则: 设在点的某邻域内单调连 续，在点处可导且，则其反函数在点所对应的 处可导，并且有 2复合函数的运算法则:若在点可导,而 在对应点()可导,则复合函数在点可 导,且 3隐函数导数的求法一般有三种方法： (1)方程两边对求导，要记住是的函数，则的函数是 的复合函数.例如，，，等均是的复合函数. 对求导应按复合函数连锁法则做. (2)公式法.由知 ,其中，， 分别表示对和的偏导数 (3)利用微分形式不变性 高阶导数，一阶微分形式的不变性， 常用高阶导数公式 （1） （2） （3） （4） （5） （6）莱布尼兹公式：若均阶可导，则 ，其中， 微分中值 定理，必达法则， 泰勒公式 Th1(费马定理)若函数满足条件： (1)函数在的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 或, (2) 在处可导,则有 Th2 (罗尔定理) 设函数满足条件： (1)在闭区间上连续； (2)在内可导，则在内一个，使 Th3 (拉格朗日中值定理) 设函数满足条件： (1)在上连续；(2)在内可导；则在内一个，使 Th4 (柯西中值定理) 设函数，满足条件： (1)在上连续；(2)在内可导且，均存在，且则在内一个，使 洛必达法则： 法则Ⅰ (型)设函数满足条件： ; 在的邻域内可导 (在处可除外)且;存在