第四章图形变换要点解析.ppt

第四章 图形变换 杨化动 本章教学要求 了解： 1.矢量和矩阵； 2.二维和三维图形变换的类型及运算规则； 3.坐标系和图形程序库； 4.投影、窗口和视区。 重点： 二维和三维图形的几何变换及其复合变换方法 本章教学内容 4.1图形变换的基本原理 4.2二维图形几何变换 4.3三维图形几何变换 4.4投影变换 4.5计算机图形处理的相关技术 4.1图形变换的基本原理 图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形，它提供了构造或修改图形的方法。除图形的位置变动外，还可以将图形放大或缩小，甚至对图形作不同方向的拉伸来使其扭曲变形。 图形是点的集合 　　在二维平面中，任何一个图形都可以认为是点之间的连线构成的。对于一个图形作几何变换，实际上就是对一系列点进行变换。 4.1图形变换的基本原理 点的表示 　 在二维平面内，一个点通常用它的两个坐标(x,y)来表示，写成矩阵形式则为：　　 或 　　 表示点的矩阵通常被称为点的位置向量，以下将采用行向量表示一个点。如有三角形的三个顶点坐标a(x1, y1), b(x2, y2), c(x3,y3),用矩阵表示则记为：　　 变换矩阵 　 若[A]、[B]、[M]都是矩阵，且[A][M]=[B]，则[M]被称为变换矩阵。变换矩阵为点的变换提供了工具。 设变换矩阵 点的变换 　　将点的坐标[x y]与变换矩阵[M]相乘，变换后点的坐标记作[x′ y′]。则： 即： 可见，新点的位置取决于变量A、B、C、D的值。  在系统中，几何图形是最基本的元素。图形由图形的顶点坐标、顶点之间的拓扑关系以及组成图形的面和线的表达模型所决定。图形的几何变换，归根结底是点的坐标变换。 　对于平面上的点，有如下齐次变换矩阵： 其中(x,y)为变换之前的点坐标，( )为变换以后的点坐标，T为变换矩阵。 对于由多个点、线、面组成的二维、三维图形，有： 　　 式中：V--变换以前图形的顶点坐标矩阵； ????????? --变换以后图形的顶点坐标矩阵； ????????T--图形变换矩阵。 ??? 对于二维图形，T是3*3阶齐次矩阵；对于三维图形，T是4*4阶齐次矩阵。图形变换的主要工作就是求解变换矩阵T。 4.2二维图形几何变换 4.2.1二维图形基本变换 4.2.2二维图形复合变换 4.2.1二维图形基本变换 在二维空间中，图形变换矩阵可表示为： 其中a、b、c、d是对图形进行缩放、对称、旋转、错切等变换；e、f是对图形进行平移变换；p、q对图形进行透视变换；s是对图形进行整体伸缩变换。当s1时，图形被放大；当s1时，图形缩小；当s=1时，图形大小不变。即变换后的 坐标均为原坐标x，y的1/s倍 二维图形的基本变换包括以下几种：平移变换、比例变换、对称变换、旋转变换、错切变换。 平移变换 平移是将图形中的每一个点进行移动。若将一个点（x,y）沿水平方向移动c单位，平移到一个新位置（ ），数学表达式为 如果c是正值，则点向右移动，如果是负值，则向左移动； 同理，如果f是正值，则点向上移动，如果f是负值，则向下移动。 平移变换 旋转变换 旋转变换是将图形绕一固定点顺时针或逆时针方向进行旋转。规定：逆时针方向为正，顺时针方向为负。下面讨论图形绕原点沿逆时针方向旋转θ角的旋转变换。如果点（x,y）沿逆时针旋转θ角，变换后的点（ , ）的数学表达式为： 示例 齐次坐标旋转变换为 比例变换 比例变换以原点为中心使用比例因子乘以图形的点集，使图形放大或缩小的变换。点的比例变换的数学表达式为： =ax?? a≠0=ey?? e≠0 齐次坐标比例变换为 比例变换 比例变换见右图 (1)当a = d =1时，为恒等比例变换，即图形不变；(2)当a = d 〉1时，图形沿两个坐标轴方向等比放大。(3)当a = d 1时，图形沿两个坐标轴方向等比缩小。(4)当a≠d时，图形沿两个坐标轴方向进行非等比变换。 示例 对称变换 分别讨论几种不同的对称变换。 示例 (1)以y轴为对称线的对称变换，变换后，图形点集的x坐标值不变，符号相反，y坐标值不变。矩阵表示为 (2)以x轴为对称线的对称变换，变换后，图形点集的x坐标值不变，y坐标值不变,符号相反。矩阵表示为 对称变换 (3)以原点为对称的对称变换，变换后，图形点集的x和y坐标值不变，符号均相反。矩阵表示为 (4)以直线y=x为对称线的对称变换，变换后，图形点集的x和y坐标对调。矩阵表示为 对称变换 (5)以直线y=-x为对称线的对称变换，变换后，图形点集的x和y坐标对调