大学物理 第5章习题解答.doc

第五章 机械振动 5-1一远洋货轮，质量为，浮在水面对其水平截面积为。设在水面附近货轮的截面积与货轮高度无关，试证明此货轮在水中的铅直自由运动是简谐振动，并求其自由振动的周期。 解：取固定坐标xOy，坐标原点O在水面上（图题所示） 设货轮静止不动时，货轮上的A点恰在水面上，则浮力为Sρga.这时 往下沉一点时， 合力 . 又 故 故作简谐振动 5-2 重物A的质量M=1kg，放在倾角的光滑斜面上，并用绳跨过定滑轮与劲度系数的轻弹簧连接，如习题5-2图所示，将物体由弹簧未形变的位置静止释放，并开始计时，试求: （1）不计滑轮质量，物体A的运动方程; （2）滑轮为质量M，半轻r的均质圆盘，物体A的运动方程。 解：取物体A为研究对象，建立坐标Ox轴沿斜面向下，原点取在平衡位置处，即在初始位置斜下方距离l0处，此时： (1) (1) A物体共受三力；重mg, 支持力N, 张力T.不计滑轮质量时，有 T=kx 列出A在任一位置x处的牛顿方程式 将（1）式代入上式，整理后得 故物体A的运动是简谐振动，且 由初始条件求得故物体A的运动方程为 x=0.1cos(7t+π)m (2) 当考虑滑轮质量时，两段绳子中张力数值不等，如图所示，分别为T1、T2,则对A列出任一位置x处的牛顿方程式为: (2) 对滑轮列出转动方程为： (3) 式中,T2=k(l0+x) （4） 由式（3）、(4)知代入(2)式知 又由（1）式知 故 即 可见，物体A仍作简谐振动，此时圆频率为： 由于初始条件： 可知，A、不变，故物体A的运动方程为: 由以上可知：弹簧在斜面上的运动，仍为简谐振动，但平衡位置发生了变化，滑轮的质量改变了系统的振动频率. 5-3质点作简谐振动的振动曲线如习题5-3图所示，试根据图得出该质点的振动表达式。 解：简谐振动的振动表达式： 由题图可知，,当t=0时，将代入简谐振动表达式，得： 由,当t=0时， 由图可知，0,即,故由,取 又因:t=1s 时，将其入代简谐振动表达式，得 由t=1s时,0知，,取， 即 质点作简谐振动的振动表达式为 5-4在一个电量为Q，半径为R的均匀带电球中，沿某一直径挖一条隧道，另一质量为m，电量为-q的微粒在这个隧道中运动，试求证该微粒的运动是简谐振动，并求出振动周期(设带电球体介电常数为)。 解：以该球的球心为原点，假设微粒在某一任意时刻位于遂道中的位矢为，由高斯定理可知,则微粒在此处受电场力为: 式中，负号表明电场的方向与的正方向相反，指向球心.由上式及牛顿定律，得： 令 则 故微粒作简谐振动，平衡点在球心处.由 知: 5-5如习题5-5图所示，有一轻质弹簧，其劲度系数k=500，上端固定，下端悬挂一质量M=4.0kg的物体A，在物体A的正下方h=0.6m处，以初速度的速度向上抛出一质量m=1.0kg的油灰团B，击中A并附着于A上。 （1）证明A与B作简谐振动; （2）写出它们共同作简谐振动的振动表达式; （3）弹簧所受的最大拉力是多少?(取，弹簧未挂重物时，其下端端点位于点) 解：（1）取弹簧原长所在位置为点.当弹簧挂上物体A时，处于静止位置P点，有： 将A与B粘合后，挂在弹簧下端，静止平衡所在位置O点，取O点为原坐标原点如图题5-5所示，则有： 设当B与A粘在一起后，在其运动过程的任一位置，弹簧形变量,则A、B系统所受合力为： 即 可见A与B作简谐和振动. (2) 由上式知， 以B与A相碰点为计时起点，此时A与B在P点，由图题5-5可知 则t=0时，(负号表P点在O点上方) 又B与A为非弹性碰撞，碰撞前B的速度为: 碰撞后，A、B的共同速度为： （方向向上） 则t=0时， 可求得： 可知A与B振动系统的振动表达式为： (3) 弹簧所受的最大拉力，应是弹簧最大形变时的弹力，最大形变为： 则最大拉力 5-6 一物体竖直悬挂在劲度系数k的弹簧上简谐振动，设振幅A=0.24m，周期T=4.0