【2017年整理】有限元总复习.ppt

*; 1. 有限元法 分析指导思想 化整为零，集零为整，裁弯取直，以简驭繁，变难为易;*;*;*;*;*;*;*;*;;;一、平衡方程;*;结构离散;（1）位移模式和形函数;;② 形函数;;由应力应变关系 ;(4) 单元刚度矩阵;平面桁架杆单元（2D LINK1）;应力矩阵;i; (2) 形函数; (6) 单元坐标单元刚度矩阵 ; 所讨论的[K]e,{R}e,{ε}, {σ} 都是在单元的局部坐标下进行的。由于杆件系统在空间中各有自己的方向，都建立了各自的坐标系，所以在分析中都必须统一在一个整体坐标中进行，一定要进行坐标变换。;平面铰接杆单元（桁架元）;*;*;*;*;*;桁架结构的有限元法分析简例;梁单元;1.无轴向变形的平面梁单元 1）单元位移模式 如图所示的梁单元为一个无轴向变形的等截面直杆，共有两个节点，节点位移包括挠度和转角，节点力包括剪力和弯矩。 ;单元的节点位移向量表示为 ; 2）单元应变 由材料力学可知，梁在发生弯曲变形而引起梁的轴向变形产生的应变称为梁的弯曲应变，可由下式计算 ;3）单元应力 梁的弯曲应力的计算公式为 ;4）单元刚度矩阵 对于等截面梁单元，单元刚度矩阵为 ; 2.有轴向变形的平面刚架单元 1）单元位移模式 取节点为i和j之间的杆件为梁单元，在节点i和j上所受到的节点力为轴力、剪力和弯矩，即节点力向量为 与之相对应的节点位移向量为 ; 3）单元的刚度矩阵。由虚功原理得单元刚度矩阵为;平面三角形单元; 假定三角形单元的位移模式 ;;其中;令;写成矩阵形式;;对于平面应力情况;形函数在节点i上的值=1; 在三角形单元任一边如 i j 边上的形函数，仅与该边的两端节点坐标有关，与另外一个节点的坐标无关 ;;;;将几何矩阵和弹性矩阵代入，可得平面应力问题中的每个子块的矩阵表达式:;，厚度为t。;;应力转换矩阵，如下;2单元刚度矩阵及其特点;单元刚度矩阵具有如下特点：; 由此可得： 表示i节点在水平方向产生单位位移时，在节点i的水平方向上需要施加的节点力； 表示i节点在水平方向产生单位位移时，在节点i的垂直方向上需要施加的节点力。选择不同的单元节点位移，可以得到单元刚度矩阵中每个元素的物理含义。;2. 是对称矩阵;例如，假定单元产生了x方向的单位刚体位移即 并假设此时对应的单元节点力为零，则由 ; 4. 单元的刚度不随单元或坐标轴的平行移动而改变 单元的刚度取决于单元的形状、大小、方向和弹性系数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。因此，只要单元的形状、大小、方向和弹性系数相同，无论单元出现在任何位置均有相同的单元刚度矩阵，根据对称性，可以减少计算量。; 将各单元刚度方程右边相加，从而得到整体刚度矩阵，如下; 整体刚度矩阵组装的基本步骤： 1）将单元刚度矩阵中的每个子块放到在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单元的扩大刚度矩阵。注意对于单元刚度矩阵是按照局部编码排列的，即对应单元刚度矩阵中的i、j、m；对于整体刚度矩阵是按照整体编码排列的，即按节点号码以从小到大的顺序排列。在组装过程中，必须知道单元节点的局部编码与该节点在整体结构中的整体编码之间的关系，才能得到单元刚度矩阵中的每个子块在整体刚度矩阵中的位置。将单元刚度矩阵中的每个子块按总体编码顺序重新排列后，可以得到单元的扩大矩阵。例如在图中，单元②的局部编码为i、j、m，对应整体编码为1、3、4，然后将单元②刚度矩阵中的每个子块按总体编码顺序重新排列后，可以得到单元的扩大矩阵。 2）将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。;通过以上组装过程可以得到组装整体刚度矩阵的一般规则： 1）结构中的等效节点力是相关单元结点力的叠加，整体刚度矩阵的子矩阵是相关单元的单元刚度矩阵子矩阵的集成；; 3）当 中 时，若rs边是组合体的内边，则 就是共用该边的两相邻单元刚度矩阵中的子矩阵 的相加。如13边为单元①和②的共用边，则 ;;4. 是奇异矩阵，在排除刚体位移后，它是正定阵 ;1. 是对称矩阵;3. 是稀疏矩阵，非零元素呈带状分布; 显然，带状刚度矩阵的带宽取决于单元网格中相邻节点号码的最大差值D。把半个斜带形区域中各行所具有的非零元素的最大个数叫做刚度矩阵的半带宽（包括主对角元），用B表示，如下 B=2(D+1) 通常的有限元程序，一般都利用刚度矩阵的对称和稀疏带状的特点，在计